Докажите, что


(1 + x)(1 + x2)(1 + x4)(1 + x8) ... (1 + x1024) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ... + x2047.

Решение:
Умножим оба выражения на (1 - x).

Слева: (1 - x)(1 + x) = 1 - x2, (1 - x2)(1 + x2) = 1 - x4, и т.д. до 1 - x2048.

Справа: (1 - x) + (x - x2) + (x2 - x3) + ... + (x2047 - x2048) = 1 - x2048.