Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть a, b и c — параллельные высоты трёх этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.

Решение:

Пусть точка M расположена на стороне BC треугольника ABC, а точки K и N — на сторонах AB и AC соответственно, причём MK || AC и MN || AB; KP = a, NQ = b и AR — высоты треугольников BKM, MNC и ABC.

Через точку N проведём прямую, параллельную BC. Предположим, что эта прямая пересекает сторону AB в точке F, расположенной между A и K. Четырёхугольник AKMN — параллелограмм, поэтому AN = KM. Высота AD треугольника ANF равна высоте KP равного ему треугольника KMB, следовательно,

AR = AD + DR = KP + NQ = a + b.


Если точка M лежит внутри треугольника ABC на расстоянии, равном c, от прямой BC, то искомая высота равна сумме трёх данных высот.