Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD, P — проекция вершины C на прямую AB, M — середина стороны AD. Докажите, что < DMP = 3 < APM. 

Решение:
Пусть N — середина стороны BC, K — точка пересечения BC и PM. Обозначим < APM = ? . Тогда PN — медиана прямоугольного треугольника BPC, проведённая к гипотенузе BC, поэтому PN = BN = AB = MN, а т.к. MN || BP,

то < MPN = < PMN = < BPK = ? , 
< PBK = < BPN = < BPK + < KPN = ?  + ?  = 2 ? . 
< DMP = < CKP = < PBK + < BPK = 2 ? + ?  = 3 ? = 3 < APM.