Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K таким образом, что середина отрезка AD равноудалена от точек K и C , а середина отрезка CD равноудалена от точек K и A . Точка N – середина отрезка BK . Докажите, что углы NAK и NCK равны.

Решение:

Пусть M – середина стороны CD , а L – середина стороны AD . Достроим параллелограмм ABCD до треугольника BA₁C₁ так, чтобы отрезок AC был средней линией треугольника BA₁C₁ . Для этого через точку D проведём прямую, параллельную AC , и обозначим через A₁ и C₁ точки пересечения этой прямой с продолжениями сторон BC и BA соответственно. Четырёхугольники ACA₁D и CAC₁D – параллелограммы, а точки A , M и A₁ лежат на одной прямой. В треугольнике AKA₁ медиана KM равна половине AM стороны AA₁ , значит, < AKA₁ = 90^o . Аналогично, < CKC₁= 90^o . Таким образом, 
< CKA₁ = 90^o - < A₁KC₁. 

Поскольку отрезки CN и AN – средние линии треугольников KBA₁ и BKC₁ , то CN || KA₁ и AN || KC₁ . Следовательно,
< NCK = < CKA₁ = < C₁KA = < NAK.