Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD делится точкой пересечения диагоналей пополам. Известно, что < ADB = 2< CBD . На диагонали BD нашлась точка K , для которой CK=KD+AD . Докажите, что < BKC = 2< ABD . 
Решение

На продолжении отрезка KD за точку D отложим отрезок DE , равный AD . Тогда
CK = KD+AD = KD+DE = KE, AD=DE.

Обозначим <  CBD = ? . Тогда <  ADB = 2? . Заметим, что < ADB – внешний угол равнобедренного треугольника ADE , поэтому 
< AEB = <  AED = ? = < CBE. 

Значит, BC || AE . При этом диагональ AC четырёхугольника ABCE делится диагональю BE пополам, поэтому ABCE – параллелограмм. Следовательно, <  BEC = <  ABE , а т.к. < BKC – внешний угол равнобедренного треугольника CKE , то 
< BKC = 2 < BEC = 2 < ABD. 

Что и требовалось доказать.