В четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит другую диагональ пополам и BC + CD = AB + AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Решение

Пусть M — середина диагонали BD. Если AM = CM, то ABCD — параллелограмм. 
Предположим, что AM > CM. Возьмем на отрезке AM точку A₁ такую, что A₁M = CM. Тогда A₁BCD — параллелограмм. Поэтому
A₁B = CD, A₁D = BC, A₁B + A₁D = BC + CD = AB + AD, 
что невозможно, т.к. A₁B + A₁D < AB + AD. Аналогично для случая AM < CM.