Имеется три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70% меди, второй _ 10% меди и 90% марганца, третий – 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее количество меди может быть в этом новом сплаве?

Решение:

Пусть x,y иz –  процентное содержание соответственно первого, второго и третьего сплавов в новом сплаве. Тогда x+y +z=100 и согласно условию, 0,3х+0,15 z; 0,9у+0,6 z и 0,7х+0,1у+0,25 z – процентное содержание соответственно никеля марганца и меди в новом сплаве. Значит, условие задачи можно сформулировать следующим образом: «Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать выражение 0,7х+0,1у+0,25 z при условии, что 0,9у+0,6 z=40  и x+y +z=100 ?»   Пусть 0,7х+0,1у+0,25 z= t,     тогда 14х=20t-2у-5 z.

Имеем:

0,9y + 0,6z = 40

X + y + z = 100

14x = 20t – 2y – 5z

27y + 18z = 1200

14x + 14y + 14z = 1400

14x = 20t – 2y – 5z

27y + 18z = 1200

18z = 2800 – 24y – 40t

14x = 20t – 2y – 5z

40t = 1600 + 3y

9y + 6z = 400

14x = 20t – 2y – 5z

Из первого уравнения системы следует, что наименьшее возможное значение t

Достигается при  у=0 и равно 40. При этом z= 66, а х=33. С другой стороны, t максимально, когда максимально у. Но из второго уравнения системы вытекает, что у принимает наибольшее значение при  z=0 и у= 44.  При этом t=43 и х=55

Ответ:  40% и 43%.