В курсе 7-11 класса практически отсутствуют задачи на проценты. Так как эти задачи можно решать с помощью уравнений и систем уравнений, то их необходимо включать в курс алгебры при изучении данных тем.
Задача 1. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к линейному)
В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?
Решение:
Пусть x г весь первоначальный раствор, тогда
0.4x г – соли в первоначальном растворе,
(x + 120) г – стало раствора,
(0,4x + 120) г – стало соли в растворе, которая теперь составляет 70% раствора, т.е. 0,7 от всего раствора, составляем уравнение:
0,4x +120 = 0,7(x + 120), решив которое получим
x = 120
120 · 0,4 = 48 (г)
Ответ: 48 г.
Задача 2. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к квадратному)
В сплаве золота с серебром содержится 80 г золота. К сплаву добавили 100 г чистого золота. Содержание золота в сплаве повысилось на 20%. Сколько серебра было в сплаве?
Решение:
|
Было: |
Стало: |
||
|
серебро |
золото |
серебро |
золото |
|
x г |
80 г |
x г |
180 г |
Пусть x г – серебра в сплаве, тогда
(x + 80) г – масса первоначального сплава,
(x + 180) г – масса нового сплава,
80/(x+80) г – часть золота в первом сплаве,
180/(x+180) г – часть золота во втором сплаве,
Т.к. содержание золота повысилось на 20% (т.е. на 1/5), составляем уравнение:
180/(x+180)-80/(x+80)=1/5
решая которое получим
x- 240x + 14400 = 0
(x – 120) = 0
x = 120
Ответ: 120 г.
Задача 3. (решаемая с помощью системы уравнений)
Вычислите массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получим сплав 900-й пробы (т.е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг сплава 900-й пробы, получим сплав 840-й пробы.
Решение:
Пусть x кг – масса сплава, y% - серебра в сплаве, тогда
(y : 100) · x = 0,01xy (кг) – серебра в сплаве,
(x + 3) кг – нового первого сплава,
(0,01xy + 3) кг – серебра в новом первом сплаве.
Т.к. серебра в новом первом сплаве 90%, составляем уравнение:
0,01xy + 3 = 0,9(x + 3).
(x + 2) кг – масса второго сплава,
2 кг сплава 900-й пробы будут содержать 0,9 · 2 = 1,8 (кг) серебра, тогда
(0,01xy + 1,8) кг – масса серебра во втором сплаве.
Т.к. серебра во втором сплаве 84%, составляем уравнение:
0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2).
Получаем систему уравнений:
0,01xy + 3 = 0,9(x + 3) x = 3
0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2) y = 80
Ответ: 3 кг 800-ой пробы
Задача 4. (решаемая с помощью системы уравнений)
Фабрика должна была сшить 360 костюмов. В первые 8 дней она перевыполняла план на 20%, а в остальные на 25%. Сколько дней работала фабрика, если всего сшито 442 костюма?
Решение:
Пусть x костюмов должна была сшить фабрика за один день,
y дней должна была работать.
Т.к. всего должно было быть сшито 360 костюмов, составляем уравнение:
xy = 360.
1,2x · 8 костюмов сшили за первые 8 дней,
1,25x(y - 8) костюмов сшили за остальные дни.
Т.к. всего сшито 442 костюма, составляем уравнение:
1,2x · 8 + 1,25x(y - 8) = 442.
Получаем систему уравнений:
xy = 360 x = 20
1,2x · 8 + 1,25x(y - 8) = 442 y = 18
Ответ: 18 дней
Задача 5. (решаемая с помощью алгебраических выражений)
Процесс очищения воды в водохранилище от содержания в ней тяжелых металлов состоит из четырех этапов. На каждом этапе содержание уменьшается на определенное количество процентов к их количеству на предыдущем этапе:
на 1-ом – на 25%
на 2-ом – на 20%
на 3-ем – на 15%
на 4-ом – на 10%
На сколько процентов в результате уменьшается их количество?
Решение:
Пусть x – количество воды, тогда оставшееся количество тяжелых металлов после очистки:
На 1-ом этапе – 0,75x
На 2-ом этапе – 0,8 · (0,75x) = 0,6x
На 3-ем этапе – 0,85 · (0,6x) = 0,51x
На 4-ом этапе – 0,9 · (0,51x) = 0,459x.
Таким образом всего ушло x - 0,459x = 0,541x, т.е. 54,1% тяжелых металлов.
Ответ: 54,1%
Задача 6. (решаемая комбинированным способом)
В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Решение:
Пусть x – месячный план, тогда
1,05x – выпущено в январе,
1,04 · (1,05x) = 1,092x – выпущено в феврале, а всего за два месяца выпущено
1,05x + 1,092x = 2,142x.
Таким образом двухмесячный план 2x, а фактически выполнено 2,142x, т.е.
2x – 100%
2,142x – y%
y = (2,142x · 100) : (2x) = 107,1%, т.е. план перевыполнен на 7,1%.
Ответ: 7,1%
Задача 7. (решаемая логическими рассуждениями)
В одном из городов Украины часть жителей говорит только по-русски, часть только по-украински, часть говорит и по-русски и по-украински. Известно, что 90% жителей говорит по-русски, а 80% по-украински. Какой процент жителей этого города говорит на обоих языках?
Решение:
На каждых 100 жителей – 90 говорит по-русски, значит, 10 не говорит по-русски, т.е. 10 говорит только по-украински. Известно, что из каждых 100 жителей говорит по-украински 80 человек, из них, как мы выяснили, 10 человек говорит только по-украински, следовательно из этих 80 знают еще и русский 80 – 10 = 70 человек, т.е. 70%
Ответ: 70%
