- Пусть некоторая величина А увеличивается в n раз и каждый раз на P%.
Тогда ее значение А1 после первого увеличения находится по формуле
A1=A+AP/100=A(1+P/100)
A2=A(1+P/100)2
……
An=A(1+P/100)n (1)
- Пусть некоторая величина А увеличивается nраз последовательно на P1%,P2%,…Pn%. Тогда ее окончательное значение An=A(1+P1/100)(1+P2/100)…(1+Pn/100) (2)
Это формулы сложных процентов.
- Пусть АН-начальное, а АК-конечное значение некоторой величины (AK>AН). Тогда процентный прирост р% этой величины находится по формуле
P%=100(Ak-Aн)/Aн (3)
Задача №16.
Сбербанк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма вклада удвоится?
Решение:
Пусть x – искомое число лет,
А – первоначальная сумма,
2А – удвоенная сумма,
Тогда по формуле (1) получаем:
2A=A(1+3/100)x;
2=1,03x;
log1,032=x;
Ответ: около 23 лет.
Задача №17.
Число 51.2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21.6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?
Решение:
Пусть x – искомое число. Тогда по формуле (2) имеем:
21,6=51,2(1+x/100)3(1-x/100)3;
27/64=(1-(x/100)2)3;
1-(x/100)2=3/4;
(x/100)2=1/4;
x=50.
Ответ: на 50%.
Задача №18.
Вкладчик открыл в банке счет и положил на него S0=150 000руб. сроком на 4 года по ставке 18% в год. Какой будет сумма S4, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?
Решение:
S0=150 000 рублей, р=18, n=4.
По формуле (1) имеем:
S4=150000(1+18/100)4=258000
За 4 года вклад увеличится на 108 000 рублей=258 000руб. – 150 000руб. Коэффициент наращивания равен:
S4/S0 =1, т.е. первоначальный вклад увеличится в 1.72 раза.
Задача №19.
Какую сумму положили в банк под 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг величины S5=94500 рублей?
Решение:
По условию р=22, n=5, S5=94500
94500=S0(1+22/100)5
S0=(94500*505)615
Ответ: первоначальная сумма вклада была 34965 рублей.
Задача №20.
Сколько лет лежал в банке вклад 70000 рублей, если по ставке 19.2% годовых процентов он достиг величины 150640 рублей. Чему равен коэффициент наращивания?
Решение:
S0= 70 000, Sn=150640, p=19.2
По формуле (1) имеем:
150640=70000(1+19,2/100)n
15064=7000((100+19,2n)/100)
15064=70*(100+19,2n)
n=6.
Коэффициент наращивания Sn/S0=150640/70000=2,152
Задача №7.
Два банка начисляют определенные проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем первый из них начисляет …….лежащую на счет сумму, второй начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на 2 года 1/3 имеющейся у него суммы денег в первый банк, то его прибыль составит 66% от первоначальной суммы. Если же наоборот, 2/3 исходной суммы денег положит в первый банк, а оставшуюся часть во второй, то через 2 года прибыль составит 76%. Какую бы сумму получил клиент через 2 года, если бы положил на этот срок сумму денег в размере 1000 условных единиц в равных долях в оба банка?
Решение:
1 случай.
А – первоначальная сумма денег.
|
1 банк - ежеквартально |
1/3А на 2 года |
66% от первоначальной суммы |
|
2 банк – за год |
2/3А на 2 года |
2 случай.
|
1 банк – 2/3А |
76% от первоначальной суммы |
|
2 банк – 1/3А |
За 2 года – 8 кварталов – в 1-ом банке прибыль A(1+p1/100)8.
За 2 года прибыль во 2-ом банке A(1-p2/100)2.
Тогда в первом случае получаем:
Во втором случае:
Пусть, (1+p1/100)8=a , (1+p2/100)2=b, тогда 
a=1.86, b=1.56
Получаем, (1+p1/100)8=1,86, (1+p2/100)2=1,56.
Но если клиент положит на 2 года 1000 у.е. в равных долях в оба банка, то
500(1+p1/100)8+500(1+p2/100)2=500*1,86+500*1,56=1710 y.e.
