В задачах на проценты и отношения необходимо помнить, что можно приравнивать количественные величины: килограммы, метры и т.д., но не проценты.
При решении таких задач бывает полезным составлять таблицу.
Пример 1. В свежей ягоде содержится 90% воды, в сушеной – 10% воды. Найти, сколько сушеной ягоды можно получить из 18 кг свежей.
Решение. Ягода состоит из сухого вещества и воды. Составим таблицу.
|
|
Сухое вещество |
Вода |
Общая масса |
|
Свежая ягода |
18-16,2=1,8 |
(90.18)/100=16,2 |
18кг |
|
Сушеная ягода |
x-0,1x=0,9x |
10х/100=0,1х |
x кг |
Неизменным в процессе сушки остается количество сухого вещества, получим уравнение: 1,8=0,9x, следовательно, x=2кг.
Пример 2. Сколько литров воды надо добавить к 20 кг 5%-ного раствора соли, чтобы получить 4%-ный раствор?
Решение. Раствор состоит из соли и воды.
|
|
5%-ный раствор |
Вода |
4%-ный раствор |
|
Общее количество |
20 кг |
x кг |
20+x кг |
|
Соль |
5.20/100=1кг |
0 |
1 кг |
Соль массой 1 кг составляет 4% от массы 4%-ного раствора, получаем уравнение:4.(20+х)/100=1, 4x=20, x=5 кг.
Пример 3. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 1200 г 15%-ного раствора. Сколько граммрв каждого раствора было взято?
Решение. Раствор состоит из кислоты и воды.
|
|
30%-ный раствор |
10%-ный раствор |
15%-ный раствор |
|
Общее количество |
x г |
y г |
1200 г |
|
Кислота
|
30х/100=0,3 г |
10y/100=0,1 г |
(15.1200)/100=180г |
|
Вода |
г |
0,1y г |
1020 г |
Получаем систему уравнений:0,3x+0,1y=180, x+y=1200. Решая систему, находим ответ:
30%-ного раствора взято 300 г, 10%-ного раствора – 900 г.
Пример 4. Из двух кусков сплавов золота и серебра с соотношением масс этих металлов 1:2 и 2:3 получили новый сплав массой 95 г с соотношением масс золота и серебра 7:12. Сколько граммов каждого сплава было взято?
Решение.
|
|
I сплав |
II сплав |
III сплав |
|
Общая масса |
x г |
y г |
95 г |
|
Золото |
1/3x г |
2/5y г |
(7/19)95=35г |
|
Серебро |
2/3[ г |
3/5y г |
(12/19)95=60г |
Получаем систему уравнений:x+y=95 , 1/3x+2/5y=35. Решая эту систему, находим: первого сплава было взято 40 г, второго – 50 г.
Задачи для самостоятельного решения.
- Вычислить массу куска сплава цинка с медью, если, сплавив его с 3 кг чистой меди получают сплав с 90%-ным содержанием меди, а сплавив его с 2 кг сплава с 90%-ным содержанием меди , получают сплав с 84% содержанием меди.
- В 2 литра уксусной кислоты добавили 8 л чистой воды. Определить процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.
- Сплав олова с медью содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?
- Смешали 30%-ный и 50%-ный растворы соляной кислоты и получили 45%-ный раствор. Найти отношение масс первоначально взятых растворов.
- Если к раствору соли добавить 100 г воды, то его концентрация уменьшится на 40 %. Если к первоначальному раствору 100г соли, то его концентрация увеличится на 10%. Найти первоначальную концентрацию раствора.
- Из трех кусков сплава олова и меди с соотношением масс этих металлов 1:2, 1:4, 2:3 получили новый сплав массой 140 кг и соотношением масс олова и меди 21:49. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил в два раза больше третьего.
