1.Графики функций у = х² + ах + b и у = х² + сх + d пересекаются в точке с координатами (1; 1). Сравните a⁵ + d⁶ и c⁶- b⁵.
2.Какое наибольшее число ребер шестиугольной призмы может пересечь плоскость, не проходящая через вершины призмы?
3.Решите уравнение : 
4.Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то их высоты тоже образуют геометрическую прогрессию.
5.В клетки квадрата 3 ? 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?

Ответы.

1.a⁵ + d⁶ = c⁶ – b⁵.
Так как графики функций проходят через точку (1; 1), то выполняются равенства: 1 = 1 + а + b и 1 = 1 + с + d, то есть, a = -b и с = -d. Следовательно, а⁵ = -b⁵ и d⁶ = c⁶. Складывая эти неравенства почленно, получим, что а⁵ + d⁶ = c⁶ – b5.

2. Горизонтальной плоскостью можно пересечь все 6 боковых ребер. Наклоним эту плоскость так, чтобы она пересекла верхнее основание около одной из вершин. Ясно, что при этом она станет пересекать два ребра в верхнем основании, но перестанет пересекать одно из боковых ребер. Таким образом, мы увеличим число пересеченных ребер на 1. 
Точно также можно увеличить это число еще на 1 за счет ребер нижнего основания. Так мы получили плоскость, пересекающую 8 ребер призмы.
Почему больше пересечений получить невозможно? Во-первых, никакое сечение не может пересекать более двух ребер одного основания (иначе сечение просто совпадает с плоскостью этого основания). Но пересечение двух ребер в одном основании исключает пересечение хотя бы одного из боковых ребер, а пересечение двух ребер в другом основании – другого бокового ребра.
3.  Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

4. Пусть стороны треугольника равны b, bq, bq², площадь треугольника S, тогда высоты треугольника соответственно равны: 2S/b, 2S/bq, 2S/db², то есть тоже образуют геометрическую прогрессию.

5. Покажем, что n = 14 слишком мало. Среди чисел 1, 2, …, 14 только 2 делятся на 5 (5 и 10), поэтому их нельзя использовать (не во всех строках произведение будет делиться на 5). По тем же соображениям нельзя использовать числа 7 и 14. Тем более, нельзя использовать числа 11 и 13. Итак, 6 чисел уже отпадают. Остается всего 8 чисел, а их не хватит для заполнения клеток квадрата! На рисунке изображен квадрат с n = 15