Задача 1: 

Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?


Решение:

Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.



Задача 2: 

Можно ли доску размером 5 ? 5 заполнить доминошками размером 1 ? 2?


Решение:

Нельзя, так как общее количество клеток (25) не делится на два, а каждая доминошка покрывает две клетки.



Задача 3: 

Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин. Что можно сказать в случае 10-угольника?


Решение:

Если ось симметрии не проходит через вершину, то данные 101 точка должны разбиваться на пары симметричных, что невозможно.



Задача 4: 

Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?


Решение:

Поскольку внутри цепи все числа встречаются парами, а общее количество половинок домино с пятерками – восемь, то и на другом конце цепи стоит пятерка.



Задача 5: 

Из набора домино выбросили все кости с «пустышками». Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?


Решение:

Докажем это от противного. Если такая цепь имеется, то одно из чисел 1, 2, 3 не встречается на концах. Пусть это число 3. Но так как внутри цепи троек четное количество, а всего их осталось после выкидывания костей с пустышками семь, то получаем противоречие.



Задача 6: 

Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?


Решение:

Если выпуклый многоугольник можно разрезать на параллелограммы, то его стороны обязательно разбиваются на пары параллельных.



Задача 7: 

На доске 25 ? 25 расставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.


Решение:

Поскольку в противном случае шашки разбиваются на пары симметричных, то на диагонали обязательно должно стоять нечетное число шашек.



Задача 8: 

Допустим теперь, что расположение шашек в задаче 13 симметрично относительно обеих главных диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.


Решение:

Допустим, что это не так. Соединим шашки, симметричные относительно какой-либо из диагоналей, ниткой. После этого разложим все шашки на «ожерелья» – группы шашек, соединенных нитками. Тогда в каждом из «ожерелий» – либо две, либо четыре шашки. Значит, общее количество шашек должно быть четным – противоречие.



Задача 9: 

В каждой клетке квадратной таблицы размером 25 ? 25 записано одно из чисел 1, 2, 3, …, 25. При этом, во-первых, в клетках, симметричных относительно главной диагонали, записаны равные числа, и во-вторых, ни в какой строке и ни в каком столбце нет двух равных чисел. Докажите, что числа на главной диагонали попарно различны.


Решение:

Поскольку единиц 25 штук, то на главной диагонали должна быть хотя бы одна единица. Аналогично, на главной диагонали есть двойка, тройка и т.д.