Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, не являющегося ромбом, при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.

Решение
Пусть биссектрисы углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, биссектрисы углов при вершинах C и D — в точке N, углов при вершинах A и D — в точке K, углов при вершинах A и B — в точке L. 

Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то MLKN — прямоугольник.

Предположим, что AB > CD.

Если луч BM пересекает прямую CD в точке T, то

< BTC = < TBA = < CBT. 

Значит, треугольник BCT — равнобедренный. Поэтому

CT = BC < AB = CD.

Следовательно, точка T лежит на стороне CD и

DT = CD - CT = AB - BC.


Поскольку CM — высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, то M — середина BT. Аналогично докажем, что если S — точка пересечения луча DK со стороной AB, то K — середина DS. Точки M и K — середины противоположных сторон параллелограмма BTDS. Следовательно,

MK = DT = AB - BC

Поскольку диагонали прямоугольника равны, то LN = MK = AB - BC.