На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что их центры также образуют квадрат.

Решение
Пусть O1, O2, O3, O4 — центры квадратов, построенных соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD. Обозначим < BAD = ? . Рассмотрим случай, когда  ? < 90^o. 

O₁A = O₁B, AO₄ = BO₂,


< O₁AO₄ = 45^o + + 45^o = 90o + ?  = < O₁BO₂, 

то треугольники O1AO₄ и O₁BO₂ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому O₁O₄ = O₁O₂. Кроме того,

< O₂O₁O₄ = 90^o. 

Остальное точно так же.

Аналогично рассматриваются остальные случаи.