В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12.

Решение
Пусть вершины M, N, K, L прямоугольника MNKL расположены соответственно на сторонах AB, BC, CD, AD квадрата ABCD; MN = 2NK; сторона MN параллельна диагонали AC квадрата; P и Q — точки пересечения AC с противоположными сторонами ML и NK прямоугольника MNKL. Обозначим ML = NK = 2x, MN = KL = 4x. Тогда MP = NQ = x. 

Поскольку APM и CQN — равнобедренные прямоугольные треугольники, то AP = MP = x и CQ = NQ = x.

AP+PQ+QC=12

MP+MN+NQ=12

x+4x+x=12

x=2
MN = 4x = 8, KN = 2x = 4.


Ответ:4;8