ЭРМИТОВА СТРУКТУРА

Значение ЭРМИТОВА СТРУКТУРА в математической энциклопедии:

на многообразии М - пара (J, g), состоящая из комплексной структуры . многообразия Ми эрмитовой метрики gв касательном расслоении ТМ, т. е. римановой метрики g, инвариантной относительно J:

g(JX, JY)-=g(X, Y)
для любых векторных полей X, Y на М. Э. с. задает в каждом касательном пространстве Т _р М структуру эрмитова векторного пространства (см. Эрмитова метрика). Многообразие с Э. с. наз. эрмитовым многообразием. Э. с. определяет на Мдифференциальную 2-форму к-рая наз. канонич. 2-формой эрмитова многообразия. Любую комплексную структуру J на многообразии M можно дополнить нек-рой римановой метрикой g до Э. с. (J, g): в качестве gможно взять метрику g(X, Y)=g₀(X, Y)+g₀(JX, JY), где g₀ - произвольная риманова метрика.
Каноническую эрмитову связность эрмитовой метрики g можно рассматривать как аффинную связность с кручением . на М, относительно к-рой поля Jи gковариантно постоянны. Среди всех аффинных связностей, удовлетворяющих этим условиям, она однозначно характеризуется тождеством T(JX, Y)=T(X, JY), справедливым для ее тензора кручения Ти произвольных векторных полей X,Y. Тензор кривизны Rканонич. связности удовлетворяет условию R(JX, JY)= R(X, Y). Эрмитово многообразие является кэлеровым многообразием тогда и только тогда, когда каноническая эрмитова связность не имеет кручения и совпадает тем самым со связностью Леви-Чивита метрики g.
Естественным обобщением понятия Э. с. является понятие почти эрмитовой структуры - пары (J, g), состоящей из почти комплексной структуры Jмногообразия Ми римановой метрики g, инвариантной относительно J. Если фундаментальная 2-форма замкнута, то почти Э. с. наз. почти кэлеровой. Задание почти Э. с. равносильно редукции структурной группы касательного расслоения к группе U(п), где Любая невырожденная дифференциальная 2-форма на многообразии Мявляется фундаментальной 2-формой нек-рой почти Э. с.

Лит. см. при статье Эрмитова метрика.
Д. В. Алексеевский.