ЭРМИТОВА МЕТРИКА

Значение ЭРМИТОВА МЕТРИКА в математической энциклопедии:

- 1) Э. м. в комплексном векторном пространстве V - положительно определенная эрмитова форма в V. Пространство V, снабженное Э. м., наз. унитарным (или комплексно евклидовым, или эрмитовым векторным) пространством, а Э. м. в нем - эрмитовым скалярным произведением. Любые две Э. м. в Vпереводятся друг в друга автоморфизмом пространства V. Таким образом, множество всех Э. м. в Vявляется однородным пространством группы и отождествляется где n=dim V.
Комплексное векторное пространство . можно рассматривать как вещественное векторное пространство снабженное оператором комплексной структуры J(x) = ix. Если h - Э. м. в V, то форма g=Re hявляется евклидовой метрикой (скалярным произведением) в V, а форма - невырожденной кососимметрической билинейной формой в V. При этом Любая из форм однозначно определяет h.
2) Э. м. в комплексном векторном расслоении - функция на базе М, сопоставляющая точке эрмитову метрику g_p в слое расслоения и удовлетворяющая следующему условию гладкости: для любых гладких локальных сечений е, е' расслоения функция является гладкой.
В любом комплексном векторном расслоении существует Э. м. Связность в комплексном векторном расслоении наз. согласованной с Э. м. g, если gи оператор Jкомплексной структуры в слоях расслоения ковариантно постоянны (т. е. иначе говоря, если соответствующий параллельный перенос слоев расслоения вдоль кривых на базе является изоморфизмом слоев как унитарных пространств. Для любой Э. м. существует согласованная с ной связность, к-рая, вообще говоря, не единственна. В случае, когда есть голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием . (см. Векторное аналитическое расслоение), существует единственная связность расслоения согласованная с данной Э. м. и удовлетворяющая следующему условию: ковариантная производная любого голоморфного сечения ерасслоения относительно любого антиголоморфного комплексного векторного ноля на Мравна нулю (каноническая эрмитова связность). Форму кривизны этой связности можно рассматривать как 2-форму типа (1,1) на Мсо значением в расслоении эндоморфизмов векторного расслоения Канонич. связность можно рассматривать также как связность в главном -расслоении ассоциированном с голоморфным расслоением комплексной размерности п. Она характеризуется как единственная связность в горизонтальные подпространства к-рой являются комплексными подпространствами касательных пространств комплексного многообразия Р.

Лит.:[1] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; [2] Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; [3] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 197В; [4] Вейль А., Введение в теорию кэлеровых многообразий, пер. с франц., М., 1961.
Д. В. Алексеевский.