ФЛАГОВАЯ СТРУКТУРА

Значение ФЛАГОВАЯ СТРУКТУРА в математической энциклопедии:

1) то же, что флаг.
2) Ф. с. типа v=(n₁, п ₂, .... п _k )на n-мерном многообразии М - дифференциально-геометрич. структура, к-рая представляет собой поле флагов F_x типа v, определяемых подпространствами V₁(x),V₂(x) ..., V_k(x) в касательных пространствах M_Х, гладко зависящими от точки Иными словами, Ф. с. типа v на М - это гладкое сечение расслоения флагов типа v на М, типовым слоем к-рого в точке является многообразие F_v(M_X). Ф. с. типа v₀ наз. полной. Ф. с. типа v на многообразии является G-структурой, где G-группа всех линейных преобразований п-мерного векторного пространства, сохраняющих нек-рый флаг типа v. Это G-структура бесконечного типа. Группа автоморфизмов Ф. с., вообще говоря, бесконечномерна. Алгебра Ли Lинфинитезнмальных автоморфизмов Ф. с. на Мобладает цепочкой идеало в где L;состоит из таких векторных полей что при всех
Важным частным случаем Ф. с. являются Ф. с. типа (n₁), или n₁ -мерные распределения (здесь k =1,0 <n₁<п).
Ф. с. тина v на Мназ. локально плоской, или интегрируемой, если у любой точки существует такая окрестность U_p и такая система координат (x¹, х ²,..., х ^п )в ней, что подпространства V_i(x)порождены векторами при всех и всех i=1,2,..., k. Это означает, что окрестность U_р обладает таким набором слоений S₁,S₂,....,S_k, что при всех флаг F_х определяется набором подпространств пространства М _х, касательных к листам этих слоений, проходящих через точку х. Ф. с. тогда и только тогда является локально плоской, когда при любом i=l,2,...,kраспределение V_i(x)является инволютивным, т. <е. для любых двух векторных полей Xи Y на Мтаких, что и при всех справедливо включение где [ Х, Y] - скобка Ли векторных полей Xи Y.
Существование на многообразии глобальных (всюду определенных) Ф. с. накладывает довольно жесткие ограничения на его топологич. строение. Напр., для существования на односвязном компактном многообразии поля прямых, т. е. Ф. с. типа (1), необходимо и достаточно, чтобы его эйлерова характеристика была равна нулю. На односвяэном многообразии тогда и только тогда существует полная Ф. с., когда оно вполне параллелизуемо, т. е. когда его касательное расслоение тривиально. Если на полном односвязном n-мерном римановом многообразии Мсуществует инвариантная относительно параллельных переносов Ф. с. типа (n₁, п ₂. . . ., n_k), то Мизометрично прямому произведению односвязных римановых многообразий размерностей n₁, n₂-n₁, n₃-n₂, ........n_k-n_k-1, n-n_k.
Транзитивная группа диффеоморфизмов многообразия Мтогда и только тогда оставляет инвариантной нек-рую Ф. с. типа v на М, когда ее линейная группа изотропии сохраняет нек-рый флаг типа v в касательном пространстве к М. В частности, если Н - такая замкнутая подгруппа группы Ли G, что сужение на Нприсоединенного представления группы Gзадает треугольную линейную группу, то на однородном пространстве G/H существует инвариантная полная Ф. с., а также инвариантная Ф. с. любого другого типа.
Развита теория деформаций Ф. с. на компактных многообразиях [4].

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Xамфри Дж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [3] Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Гельфанд С. И., лУспехи матем. наук