КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Значение КРАЕВАЯ ЗАДАЧА в математической энциклопедии:

теории потенциала- основная задача потенциала теории как классической, так и абстрактной. Поскольку классические ньютонов и логарифмич. потенциалы удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям с частными производными эллиптич. типа, а именно Лапласа уравнению в областях, свободных от порождающих эти потенциалы масс, и Пуассона уравнению в областях, занятых массами, к числу К. з. теории потенциала относят в первую очередь краевые задачи для эллиптич. уравнений и систем.

1) Дирихле задача, или первая краевая задача, когда требуется найти потенциал и(х).в нек-рой области Dпо заданным его непрерывным значениям на границе области причем распределение масс внутри Dпредполагается известным. Эта задача в теории потенциала является основной.

2) Неймана задача, или вторая краевая задача, когда требуется найти потенциал в Dпо заданным непрерывным значениям его нормальной производной

3) Смешанная задача, или третья краевая задача, когда на Г задается линейная комбинация

4) Задача с косой производной, когда на Г в условии (*) вместо производной по нормали к Г фигурирует производная по произвольному, вообще говоря, направлению Кроме перечисленных общих задач, в теории потенциала возникли также следующие специфические проблемы.

5) Робена задача, когда на Г ищется такое распределение масс, потенциал к-рого и(х).постоянен внутри области D. Эта задача возникает как электростатич. проблема определения такого равновесного распределения зарядов на проводнике Г, к-рое ничем не проявляет себя внутри D.

6) Выметания метод, к-рый в своем простейшем изложении, ведущем начало от А. Пуанкаре (Н. Poinсаre), состоит в отыскании такого распределения масс на границе Г, потенциал к-рого в дополнительной области совпадал бы с потенциалом данных "выметаемых" масс, расположенных внутри D. В потенциала теории абстрактной две последние задачи имеют особенно большое значение.

См. также Бесселев потенциал, Нелинейный потенциал, Рисса потенциал.

Лит.:[1] Г ю н т е р Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Л а н д к о ф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966; [3] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [4] Constantinesсu С., Cornea A., Potential theory on harmonic spaces, В., 1972. Е. Д. Соломенцее.