ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА

Значение ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА в математической энциклопедии:

- задача отыскания регулярной в области Dгармонич. функции u, к-рая на границе Г области Dсовпадает с наперед заданной непрерывной функцией j. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптич. уравнения 2-го порядка, принимающего наперед заданные значения на границе области, также наз. Д. з., или первой краевой задачей. Вопросы, связанные с этой задачей, рассматривались еще К. Гауссом (С. Gauss, 1840), а затем П. Дирихле [1].

Для областей Dс достаточно гладкой границей Г решение и(х)Д. з. можно представить интегральной формулой

(1)

где дG( х, х ₀)/дп ₀- производная по направлению внутренней нормали в точке Грина функции G(x, x₀), характеризуемой следующими свойствами:

или

где r=|x- х ₀|- расстояние между точками хи х ₀, s_n- площадь единичной сферы в Rⁿ, g( х, х ₀)- регулярная в Dгармонич. функция как относительно координат х, так и относительно координат х ₀;

2) G(x, x_o) =0, когда

Для шара, полупространства и нек-рых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (1) дает эффективное решение Д. з. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название Пуассона формул.

Д. з. является одной из основных проблем потенциала теории. Она служила и служит как бы пробным камнем для разрабатываемых новых методов, к-рые затем, в той или иной мере, становятся достоянием общей теории уравнений с частными производными.

Для исследования Д. з. применяются следующие методы.

Вариационный метод основан на том, что среди всех функций и, заданных в Dи принимающих наперед заданные значения на Г, минимизирует Дирихле интеграл

- гармоническая функция. Для D(й)строится специальная минимизирующая последовательность и доказывается сходимость этой последовательности. Поскольку от искомого решения иД. з. требуется, чтобы сущест-

вовал интеграл D(u), то вариационный метод применим лишь для таких функций ф, к-рые являются следами на Г функций F, заданных в D, и таких, что D(F)существует и ограничен.

В методе потенциалов решение Д. з. ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, определенной на Г. При помощи формул скачка относительно этой плотности получается интегральное уравнение Фредгольма, из к-рого следует существование решения Д. з. с учетом того, что единственность этого решения следует из принципа максимума. Предполагается, что

В альтернирующем методе Шварца рассматриваются две области D₁ и D₂ с непустым пересечением D₀ такие, что для D₁ и D₂ в отдельности известен способ решения Д. з. Затем строится процесс, позволяющий найти решение Д. з. для области Границы Г ₁ и Г ₂ областей D₁ и D₂ предполагаются кусочно гладкими, причем во всех точках пересечения Г ₁ с Г ₂ как Г ₁, так и Г ₂ являются гладкими и пересекаются под ненулевым углом. Строятся последовательности регулярных в областях D₁ и D₂ гармонии, функций, удовлетворяющих специальным граничным условиям. Затем доказывается, что эти последовательности равномерно сходятся и в D₀ их пределы совпадают. Предельная гармонич. функция регулярна в Dи является искомым решением Д. з. Метод Шварца можно применять для объединения пли пересечения любого конечного числа областей.

Метод выметания в той форме, в к-рой он первоначально был введен А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1890), применяется к таким областям, к-рые допускают исчерпание счетным множеством шаров. Исходным в этом методе является построение ньютонова потенциала, принимающего на границе Г заданные значения j, а задача затем сводится к замене этого потенциала потенциалом масс, расположенных на Г, без изменения значений j на Г, т. е. к выметанию масс. При помощи формулы Пуассона такой процесс выметания для шара Dлегко осуществить в явном виде. Счетное число выметаний из шаров, объединение к-рых исчерпывает область Dобщего вида, приводит к нек-рому потенциалу масс, расположенных на границе Г, к-рый и дает решение Д. з.

Близким к методу выметания является Перрона метод (или метод верхних и нижних функций), применимый к областям Dвесьма общего вида. В этом методе строятся последовательности верхних (супергармонических) и нижних (субгармонических) функций, общим пределом к-рых является искомое решение Д. з. Для того чтобы это решение принимало заданное значение в точке необходимо и достаточно существование локального барьера w_Q. Функция w_Q. непрерывна, супергармонична в пересечении (2 - шар с центром в точке Q);w_Q>0 всюду в , кроме точки Q, где она обращается в нуль.

Точки Г, для к-рых существует локальный барьер, наз. регулярными точками. Если Г состоит только из регулярных точек, то полученное решение Д. з. непрерывно в Dи принимает заданные значения на Г. Однако на Г могут существовать и иррегулярные точки. Напр., в R² иррегулярными являются изолированные точки Г, а в R³ иррегулярной будет вершина достаточно тонкого острия, входящего внутрь D. Наличие иррегулярных точек приводит к тому, что Д. з. не является разрешимой для всех непрерывных на Г функций j, либо же решение является неустойчивым по отношению к изменению граничных данных (см. [6]).

Обобщенное решение Д. з., введенное Н. Винером (N. Wiener, 1924), удовлетворяет условиям: а) оно применимо для любых областей; б) оно приводит к классич. решению Д. з., если таковое существует. Пусть область D- предел монотонно возрастающей последовательности регулярных областей {D_n} такой, что и любой компакт содержится в D_n при Обобщенное решение Д. з. иполучается как предел последовательности {и _п} решений Д. з. для областей D_n и непрерывно продолженной граничной функции j внутрь D. Решение ине зависит ни от выбора исчерпывающей последовательности {D_n}, ни от способа непрерывного продолжения ф внутрь D.

Имеется трактовка обобщенного решения Д. з. на основе метода Перрона. Пусть - нижняя огибающая семейства всех верхних супергармонич. функций v, удовлетворяющих на Г условию

Для любых области Dи функции j имеет место неравенство В случае равенства =u эта функция иявляется гармонической. Она наз. обобщенным решением Д. з., а граничная функция j - разрешимой. Любая непрерывная функция j разрешима, поведение же обобщенного решения ив точке определяется регулярностью или иррегулярностью х ₀. Для обобщенного по Винеру решения Д. з. справедливо интегральное представление в виде формулы Балле Пуссена

(2)

являющейся обобщением формулы (1). Здесь dw(x, E)- гармонич. мера множества в точке х ₀ (см. [5]).

Отсюда возникает возможность рассмотрения обобщенной Д. з. для произвольных граничных функций j, при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в нек-рой ослабленной форме. Напр., если D- область R² с достаточно гладкой границей Г, а граничная функция j имеет только точки разрыва 1-го рода, то можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках непрерывности ф, для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется ограниченность решения. В постановке Н. Н. Лузина обобщенная Д. з. ставится для произвольной измеримой и конечной почти всюду на Г граничной функции ф. Граничное условие может состоять в том, чтобы граничные значения решения по нормали к Г существовали и совпадали с j почти всюду на Г.

Для общего эллиптич. уравнения 2-го порядка

Д. з. фредгольмова. При этом ищется регулярное в области решение, принимающее на границе наперед заданные значения. Приведенные выше методы исследования Д. з. для гармонич. функций обобщаются и на уравнение (3).

Для равномерно эллиптич. систем Д. з. может оказаться не только нефредгольмовой, но даже иметь бесконечно много линейно независимых решений (см. [8]). Д. з. рассматривается и для нек-рых неэллиптич. уравнений или вырождающихся уравнений. В этих случаях Д. з. иногда оказывается некорректной.

Лит.:[1] Diriсhlet P. G. L., "Abh. der Koniglich Preus. Acad. der Wiss.", 1850, S. 99-116; [2] Mиранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Курант Р., Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, пер. с англ., М., 1953; [4] его же, Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5], Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [6] Келдыш М. В., "Успехи матем. наук", 1941, в. 8, с. 171 - 292: [7] его же, "Докл. АН СССР", 1951, т. 77, с. 181-83; [8] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966.

А. Янушаускас.