Определение: Уравнение вида ax = b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Алгоритм решения уравнения ax = b.

1) если а ? 0, то ;

2) если а = 0, b ? 0, то корней нет (0x = b)

3) если а = 0, то х – любое (0x = 0)

1. Повторим на простых примерах, что значит решить уравнение

2х – 2 = – 1, 2х = 1, х =

14х = – 4, х = , х =

Пример 1: Решите уравнение х + 2 = а + 7 относительно х.

Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

х + 2 = а + 7

х = 5 + а

Значение х находится по формуле х = 5 + а, подставляя в нее задаваемые значения параметра а. Заметим, что значения параметра а задаем произвольно.

В нашем примере: при а = 3 х = 8

при а = 0 х = 5

при а = –4 х = 1

Ответ запишем так: при любом значении параметра а х = 5 + а.

Поставим задачу, обратную данной.

Пример 2: При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7?

Решение: Т.к. х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подстановке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство: 2,5 + 2 = а + 7

а = – 2,5

Ответ: при а = – 2,5.

Пример 3: Решите уравнение ах = 1

Решение: ах = 1

Обратить внимание учащихся на конструкцию записи ответа:

1) при а …. х ….

2) если а …. , то х ….

В нашем примере можно записать следующим образом

Ответ: если а = 0, то корней нет,

если а ? 0, то .

Пример 4: Решите уравнение ах + 8 = а (а – параметр)

Опишем ход решения. Итак, коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:

1) коэффициент при х = 0 и уравнение примет вид 0х = 8 – не имеет корней уравнение;

2) коэффициент при х ? 0 и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент:

а ? 0, ах + 8 = а, ах + 8 = а,

Ответ: при а = 0 – нет корней,

при а ? 0 .

Пример 5: Решите уравнение (а – 1)х = 12

Решение: (а – 1)х = 12

Ответ: если а = 1, то корней нет,

если а ? 1, то .

Пример 6: Решите уравнение х(а + 2) – а(1 – х) = 3

Решение: х(а + 2) – а(1 – х) = 3

ах + 2х – а – ах = 3

2ах + 2х – 3 = а

2х(а + 1) – 3 = а

Ответ: если а = – 1, то корней нет,

если а ? – 1, то .

Пример 1: Решите уравнение

Решение: ,

1) k(a) не имеет смысла при а = 2

2) b(a) не имеет смысла при а = – 3

3) , система решений не имеет

4) , , если а ? – 2, а ? – 3, а ? 2, то

,

5) , система имеет единственное решение при а = – 2.

Ответ: если а = 2, а = – 3, то решений нет;

если а ? – 2, а ? – 3, а ? 2, то

если а = – 2, то х – любое число.

Пример 2: Решите уравнение

(k² – 1)x = k + 1

Решение: 1) k + 1 имеет смысл при любом k.

2) k² – 1 имеет смысл при любом k.

3) , при k = 1 исходное уравнение решений не имеет

4) (k² – 1) ? 0, (k – 1) (k + 1) ? 0; если k ? 1, k ? – 1, то

, .

5) , если k = – 1, то х – любое число.

Ответ: если k = 1, то решений нет;

если k = – 1, то х – любое число;

если k ? 1, k ? – 1, то .

Пример 3: При каком значении а прямые и пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

Решение:

, при условии система принимает вид: ,

Ответ: а =4.

Пример 4: При каких значениях параметров m и n уравнение 2m – nx = 1 не имеет решений? Решите это уравнение.

Решение: 2m – nx = 1, nx = 2m – 1

1) n имеет смысл при любом n.

2) 2m – 1 имеет смысл при любом m.

3) , , при этом условии исходное уравнение корней не имеет.

4) n ? 0, т.е.

5) , , х принимает любое значение из R.

Ответ: если n = 0 и , то корней нет;

если n ? 0 и m любое число, то ;

если n = 0 и , то х любое число.

Пример 1: При каких значении параметра а уравнения ах = 12 и 3х = а имеют общие корни?

Решение: ,

а₁ = 6, а₂ = – 6.

Ответ: при а₁ = 6, а₂ = – 6.

Пример 2: Решите уравнение:

Решение

1) При а = 0 выражение не имеет смысла

2) , , если а = – 1, то исходное уравнение не имеет корней.

3) , если а ? – 1, а ? 0, то

Ответ: если а = 0, а = – 1, то корней нет;

если а ? 0, а ? – 1, то .

Пример 3: Графики функций и пересекаются в точке с абсциссой, равной – 2. Найдите ординату точки пересечения.

Решение: ,

Ответ: –2.

Пример 4: Графики функций и симметричны относительно оси абсцисс.

а) найдите b и k

б) найдите точку пересечения этих графиков.

Решение: Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно b = 4

, ,

В результате и , точка пересечения графиков (– 2; 0).

Ответ: а) b = 4, k = – 2;

б) (– 2; 0).

4. Задание на дом.

Решите уравнения:

а)

Ответ: если а ? 2, то ;

если а = 2, то решений нет.

б)

Ответ: если а ? 2, то ;

если а = 2, то решений нет.

в)

Ответ: если m = 3, то x – любое число из R;

если m = – 3, m = 0, то корней нет;

если m ? – 3, m ? 0, m ? 3, то x=(m+3)/m