При каком значении параметра k уравнение 2x²+2 = k-3
не имеет корней?

Решение: (чертёж схематический)

Функция f(x) = 2x²+2 является квадратичной, график её - парабола,
ветви которой направлены вверх. Количество корней уравнения зависит
от числа точек пересечения параболы с прямой y = k-3,
а значит, от второй координаты вершины параболы.

Если парабола задана в виде y = k(x - a)²+ b, то её вершина (a, b).
В данном случае координаты вершины X = 0, Y = 2.

Уравнение 2x²+2 = k-3 не имеет корней, если k-3 < 2, отсюда
Ответ: k < 5.