Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Теория.

Простые проценты.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него S₀ рублей. Пусть банк обязуется выплатить вкладчику в конце каждого года р% от первоначальной суммы S₀. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет S₀ ^. р / 100 рублей и величина вклада станет равной S = S₀(1 + p/100) рублей; р% называют годовой процентной ставкой.

Если по прошествии одного года вкладчик снимет со счета начисленные проценты           S₀ ^. р / 100, а сумму S₀ оставит, в банке вновь начислят S₀ ^. р / 100 рублей, а за два года начисленные проценты составят 2S₀ ^. р / 100 рублей, через n лет на вкладе будет

S_n = S₀(1 + pn/100) рублей.

Сложные проценты.

Если вкладчик не снимет со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р% уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, S₀, но и на проценты, которые на него полагаются. Sn = S₀(1 + p%/100%)ⁿ

Решение.

S_α = 5 000(1 + 2)⁵ = 1 215 000,

S_β = 10 000(1 + 4)³ = 1 250 000,

1 250 000 – 1 215 000 = 35 000.

Ответ. 35 000.