На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

Решение
Из равенства треугольников ABN и CDL (по двум сторонам и углу между ними) следует, что 

< ANB = < CLD = < BCL, 

поэтому AN || CL. Аналогично BK || DM. Значит, при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получился параллелограмм.

Пусть P, Q, R, S — его вершины. Из равенства треугольников BPN и DRL (по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует, что BP = DR, поэтому PK = MR. Значит, четырёхугольник MPKR — параллеллограмм. Его диагональ PR проходит через середину диагонали MK. В то же время, середина MK совпадает с серединой AC, т.к. MK и AC — диагонали параллелограмма AMCK. Следовательно, PR — проходит через середину AC, т.е. через центр параллелограмма ABCD. Аналогично для QS.