1. Расстояние между серединами взаимно перпендикулярных хорд AC и BC некоторой окружности равно 10. Найдите диаметр окружности.

Решение
Пусть M и N — середины данных хорд AC и BC. Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC, то 
AB = 2MN = 20, 
а т.к. отрезок AB виден из точки C под прямым углом, то AB — диаметр окружности.

Ответ:20.

2. Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30^o и 45^o. Найдите отношение сторон параллелограмма.

Решение

Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD делит угол при вершине A на два угла: o и o. Тогда 

o.Применяя теорему синусов к треугольнику ABC, найдём, что AB/BC=sin

Ответ: ?2

3. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причём MN = 12. Найдите стороны параллелограмма.

Решение
Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке P, прямую CD — в точке M. Обозначим AB = CD = a. Тогда BC = AD = 2a. Поскольку 
BP = AP = a, PC = BC - BP = 2a - a = a.

Треугольники PMC и PAB равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому MC = AB = a. Аналогично докажем, что DN = a. Следовательно,

MN = MC + CD + DN = a + a + a = 3a = 12,

откуда находим, что a = 4.

Ответ: 4, 8, 4, 8.