ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА МЕТОД

Значение ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА МЕТОД в математической энциклопедии:

приближенный метод исследования нелинейных колебательных систем, описываемых нелийейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Суть Г. б. м. состоит в замене в колебательных системах нелинейных сил специальным образом построенными линейными функциями, в силу чего он позволяет использовать теорию линейных дифференциальных уравнений для приближенного анализа нелинейных систем.

Линейные функции строятся с помощью специального приема, наз. гармонич. линеаризацией. Пусть задана нелинейная функция (сила)

где e - малый параметр. Гармонической линеаризацией наз. замена линейной функцией

где параметры вычисляются по формулам:

Если

то нелинейная сила является периодич. функцией времени, и ее разложение в ряд Фурье содержит, вообще говоря, бесконечное число гармоник с частотами т. е. оно имеет вид:

(1)

Слагаемое наз. основ но и гармоникой разложения (1). Амплитуда и фаза линейной функции совпадают с аналогичными характеристиками основной гармоники нелинейной силы. Применительно к дифференциальному уравнению

типичному для теории квазилинейных колебаний, Г. б. м. заключается в замене линейной функцией , и вместо уравнения (2) рассматривается уравнение

где Принято называть эквивалентной линейной силой, - эквивалентным коэффициентом затухания, - эквивалентным коэффициентом упругости. Доказано, что если нелинейное уравнение (2) имеет решение вида

причем то разность между решениями уравнений (2) и (3) имеет порядок . В Г. б. м. частота колебаний зависит от амплитуды а(посредством величин ).

Г. б. м. применяется для отыскания периодич. и квазипериодич. колебаний, периодич. и квазипериодич. режимов в теории автоматич. регулирования, стационарных режимов и для исследования их устойчивости. Особенно большое распространение он получил в теории автоматич. регулирования.

Лит.:[1] Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н., Введение в нелинейную механику. К., 1937; [2] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М., 1974; [3] Попов Е. П., Пальтов И. П., Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем, М., 1960.

Е. А. Гребеников.