ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА

Значение ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА в математической энциклопедии:

понятие теории гармонических функций, возникшее в связи с проблемами оценки модуля аналитич. функции внутри области, когда известны те или иные оценки модуля на границе области (см. [1], [2]). Пусть D - ограниченное открытое множество евклидова пространства - граница - конечная действительная непрерывная функция на Г. Каждой такой функции f соответствует единственная гармония, функция на D, являющаяся для f обобщенным решением Дирихле задачи. Если считать точку фиксированной, то функционал Н _f(x).определяет на компактном множестве Г положительную борелевскую меру к-рая и называется гармонической мерой в точке х. Для всякой непрерывной на Г функции f справедлива формула представления обобщенного решения задачи Дирихле

полученная Ш.-Ж. Валле Пуссеном [3] выметания методом. Более того, если Е- произвольное борелевское множество на Г, то Г. м. Множества Ев точке хравна значению в хобобщенного решения задачи Дирихле для характеристпч. функции , , множества Е.

Основные свойства Г. м: - гармонич. функция точки хна D;

если D - область и хвтя бы в одной точке хО D, то

В последнем случае Еназ. множеством нулевой Г. м. Если компактное множество имеет нулевую Г. м. относительно какой-либо одной области D, , то есть то оно имеет нулевую Г. м. относительно любой другой области то есть Кесть множество нулевой абсолютной Г. м. Множество Кимеет нулевую абсолютную Г. <м. тогда и только тогда, когда оно имеет нулевую (гармоническую) емкость.

С точки зрения приложений к теории функций комплексного переменного особенно важное значение имеет зависимость Г. м. от области D, выражаемая гармонической меры, принципом, сущность к-рого состоит в том, что при отображениях области D, осуществляемых однозначными аналитич. функциями , хО D, Г. м. не убывает. В частности, при взаимно однозначном конформном отображении Г. м. не изменяется.

Явное вычисление Г. м. удается провести лишь для простейших областей D(прежде всего, для круга и шара, полуплоскости, полупространства; см. Пуассона интеграл). Поэтому важное значение имеют различные методы оценки (см. [4]-[7]) Г. м., базирующиеся в основном на расширения области принципе. В простейшей форме при n=2 он состоит в следующем: пусть конечносвязная область Dограничена конечным числом жордановых кривых - дуги, лежащие, на Г. Тогда, если область Dрасширяется каким-либо образом через дополнительную часть границы, то Г. м. может только увеличиться.

Лит.:[1] Carleman Т., "Ark. mat.", J921, Bd 15, № 10, p. 1-7; [2] Nevanlinna F., Nevanlinna R., "Acta Soc. scent, fennica", 1922, n. 50, № 5; [3] de la Vallee Poussin Ch.-J., "Ann. Inst. H. Poincarg", 1932, v. 2, p. 169-232; [4] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [5] Голувин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [6] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [7] Наlistе К., "Ark. mat.", 1965, Bd 6, № 1, p. 1-31. Е. Д. Соломенцев.