" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

Значение ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ в математической энциклопедии:

раздел математики, занимающий промежуточное положение между анализом и геометрией, в к-ром изучаются выпуклые функции, выпуклые функционалы и выпуклые множества.

Основания В. а. были заложены Г. Минковским [1], [2], создавшим выпуклую геометрию, т. е. геометрию выпуклых множеств в конечномерном пространстве. Многие понятия и концепции выпуклой геометрии нашли свое завершение в функциональном анализе. С работы В. Фенхеля [3] начался новый. <этап В. а., на к-ром детально исследовались свойства выпуклых функционалов. Формирование В. а. как самостоятельного раздела относится к 50 -60-м гг. 20 в. Понятия и методы В. а. широко применяются в разных областях математики - в теории экстремальных задач, особенно - в выпуклом программировании и классическом вариационном исчислении, в математич. физике, теории целых функций, математич. статистике и т. д.

Основными в В. а. являются понятия поляры, субдифференциала и сопряженной функции. Теоремы В. а. связывают операции сопряжения, перехода к поляре и взятия субдифференциала с алгебраическими, .теоретико-множественными и порядковыми операциями над выпуклыми множествами и функциями. Исследуются также всевозможные двойственные отношения между множествами и их полярами, функциями и сопряженными к ним, множествами и выпуклыми однородными функциями и т. п.

Лит.:[1] Minkowski H., Geometrie der Zahlen, В.- Lpz., 1910; [2] его же, Theorie der konvexen Korper, в кн.: Gesamm. Abh., Bd 2, Lpz., 1911; [3] Fenсhe1 W., "Can. J. Math.", 1949, v. 1, p. 73-77; [4] Pокафeллар Р. Т., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973. В. М. Тихомиров.