ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

Значение ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД в математической энциклопедии:

статистический метод исследования общих свойств совокупности к.-л. объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку. Математич. теория В. м. опирается на два важных раздела математнч. статистики - теорию выбора из конечной совокупности и теорию выбора из бесконечной совокупности. Основное отличие В. м. для конечной и бесконечной совокупностей заключается в том, что в первом случае В. м. применяется, как правило, к объектам неслучайной, детерминированной природы (напр., число дефектных изделий в данной партии готовой продукции не является случайной величиной: это число - неизвестная постоянная, к-рую и надлежит оценить по выборочным данным). Во втором случае В. м. обычно применяется для изучения свойств случайных объектов (напр., для исследования свойств непрерывно распределенных случайных ошибок измерений, каждое из к-рых теоретически может быть истолковано как реализация одного из бесконечного множества возможных результатов).

Выбор из конечной совокупности и его теория являются основой статистич. методов контроля качества и часто применяются в социологич. исследованиях.

Согласно теории вероятностей выборка будет правильно отражать свойства всей совокупности, если выбор производится случайно, т. е. так, что любая из возможных выборок заданного объема пиз совокупности объема N(число таких выборок равно ) имеет одинаковую вероятность быть фактически выбранной.

На практике наиболее часто используется выбор без возвращения (бесповторная выборка), когда каждый отобранный объект перед выбором следующих объектов в исследуемую совокупность не возвращается (такой выбор применяется, напр., для определения выигрышных лотерейных билетов, при статистич. контроле качества, а также при демографии, исследованиях). Выбор с возвращением (выборка с повторением) рассматривается обычно лишь в теоретических исследованиях (примером выбора с возвращением их является регистрация числа частиц, коснувшихся в течение данного времени стенок сосуда, внутри которого совершается броуновское движение). Если , то повторный п бесповторный выборы дают практически эквивалентные результаты.

Свойства совокупности, исследуемые В. м., могут быть качественными и количественными. В первом случае задача выборочного обследования заключается в определении количества Мобъектов совокупности, обладающих к.-л. признаками (напр., при статистич. контроле часто интересуются количеством Мдефектных изделий в партии объема N). Оценкой для Мслужит отношение , где т - число объектов с данным признаком в выборке объема п. В случае количественного признака имеют дело с определением среднего значения совокупности Оценкой для является выборочное среднее

где - те значения из исследуемой совокупности к-рые принадлежат выборке. С математич. точки зрения первый случай - частная разновидность второго, к-рая имеет место, когда Мвеличин равны 1, а остальные равны 0; в этой ситуации

В математич. теории В. м. оценка среднего значения занимает центральное место потому, что она служит основой количественного описания изменчивости признака внутри совокупности, т. к. за характеристику изменчивости обычно принимают дисперсию

представляющую собой среднее значение квадратов отклонений от их среднего значения . В случае изучения качественного признака

О точности оценок и судят по их дисперсиям

к-рые в терминах дисперсии конечной совокупности s² выражаются в виде отношений (в случае выборок с повторением) и (в случае бесповторных выборок). Т. к. во многих практически интересных задачах случайные величины и при приближенно подчиняются нормальному распределению, то отклонения от н от превышающие по абсолютной величине и соответственно, могут при осуществиться в среднем приблизительно в одном случае из двадцати.

Более полную информацию о распределении количественного признака в данной совокупности можно получить С помощью эмпирического распределения этого признака в выборке.

Выбор из бесконечной совокупности. В математнч. статистике результаты к.-л. однородных наблюдений (чаще всего независимых) принято наз. выборкой даже в том случае, когда эти результаты не соответствуют понятию выборки с повторениями или без повторении из конечной совокупности. Напр., результаты измерений углов на местности, подверженные независимым непрерывно распределенным случайным ошибкам, часто наз. выборкой из бесконечной совокупности. Предполагается, что принципиально можно осуществить любое число таких наблюдений. Полученные фактически результаты считают выборкой из бесконечного множества возможных результатов, наз. генеральной совокупностью. Понятие генеральной совокупности не является логически безупречным п необходимым. Для решения практич. задач нужна не сама бесконечная генеральная совокупность, а лишь те или иные характеристики, к-рые ей ставятся в соответствие. Эти характеристики с точки зрения теории вероятностей являются числовыми или функциональными характеристиками нек-рого распределения вероятностей, а элементы выборки - случайными величинами, подчиняющимися этому распределению. Такое истолкование позволяет распространить на выборочные оценки общую теорию статпстнч. оценок (см. Оценка статистическая). По этой причине, напр., в вероятностной теории обработки наблюдений понятие бесконечной генеральной совокупности заменяется понятием распределения вероятностей, содержащего неизвестные параметры. Результаты наблюдений трактуются как экспериментально наблюдаемые значения случайных величин, подчиняющихся этому распределению. Цель обработки - вычисление но результатам наблюдений в том или ином смысле оптимальных статистич. оценок для неизвестных параметров распределения.

Выше речь шла о выборочном обследовании одной совокупности к.-л. объектов. Однако практическое применение В. м. часто осуществляется во многих однородных совокупностях (напр., при оценке доли бракованных изделий в нескольких партиях готовой продукции). В этой ситуации объектом изучения является не одно число М, а несколько неизвестных чисел M₁, М₂, .... Пусть, напр., все обследуемые партии готовой продукции содержат Nизделий, причем M₁, M₂, ...- количества дефектных изделий в этих партиях, a m₁,m₂, ...- соответствующие количества дефектных изделий, обнаруженные в выборках объема п. Согласно условию так наз. бездефектной приемки партия с номером гпередается потребителю, если , в противном случае она бракуется. Предположим, что контроль изделий сопряжен с их уничтожением, л поэтому потребитель либо получает партию объема R_i= 0 (при m_i>0), либо партию объема R_i=N- п с количеством дефектных изделий D_i=M_i (при т; = 0), причем значения R₁, R₂, ... (а, значит, и их сумма) известны, а значение D₁+D₂+.... неизвестно. Отношение (D₁+D₂+....)/(R₁+R₂+....) называют долей пропущенного брака, а его математнч. ожидание q- средней долей пропущенного брака. Задача математич. статистики заключается в оценке qпо значениям R₁, R₂, ..., зафиксированным в результате применения В. м. Если значения M₁, M₂.,... можно трактовать как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с известным законом распределения Р { М _i= r}= р _r, то согласно Бейеса формуле статистич. оценка среднего числа пропущенных дефектных изделий в принятых партиях выражается формулой

где

Поэтому оценка

средней доли пропущенного брака в принятых партиях удовлетворяет неравенству

где -число принятых партий, а -количество тох забракованных партий, в выборках из к-рых обнаружено ровно одно дефектное изделие.

Лит.:[1]Дучин - Барковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (Общая часть), М., 1955, гл. 5; [2] Беляев Ю. К., Вероятностные методы выборочного контроля, М., 1975; [3] Кендалл М., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966. Л. Н. Большев.