ЭРМИТОВО СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

Значение ЭРМИТОВО СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО в математической энциклопедии:

связное комплексное многообразие Мс эрмитовой структурой, каждая точка к-рого является изолированной неподвижной точкой нек-рой голоморфной инволютивной изометрии S_p многообразия М. Компонента единицы . группы голоморфных изометрии пространства Мтранзитивна на М. Пусть K - стационарная подгруппа в G относительно нек-рой точки Тогда Мназ. пространством компактного или некомпактного типа в соответствии с типом глобально симметрического риманова пространства G/K. Каждое Э. с. п. Мявляется прямым произведением где все сомножители есть одноевязные Э. с. п., и - пространства компактного и некомпактного типа соответственно. Любое Э. с. п. компактного или некомпактного типа односвязно и является прямым произведением неприводимых Э. с. н. Некомпактные неприводимые Э. с. п. совпадают с пространствами вида G/K, где G - связная некомпактная простая группа Ли с тривиальным центром, а К - максимальная компактная подгруппа в G, имеющая недискретный центр. Компактные неприводимые Э. с. п. совпадают с пространствами вида G/ К, где G - связная компактная простая группа Ли с тривиальным центром, а К - максимальная свявная собственная подгруппа в G, имеющая недискретный центр.
Э. с. п. некомпактного типа имеют следующее истолкование в теории функций многих комплексных переменных. Пусть есть n -мерное комплексное векторное пространство. Ограниченной областью наз. ограниченное открытое связное подмножество пространства Ограниченная область наз. симметрической, если каждая точка является изолированной неподвижной точкой нек-рого инволютивного голоморфного диффеоморфизма области Dна себя. Имеет место теорема: а) каждая ограниченная симмет-рич. область D, будучи снабжена метрикой Бергмана (см. Бергмана кернфункция, Однородная ограниченная область), является Э. с. п. некомпактного типа, в частности, ограниченная симметрич. область обязательно односвязна; б) пусть М- Э. с. п. некомпактного типа, тогда существует ограниченная симметрич. область Dи голоморфный диффеоморфизм многообразия Мна D.

Лит. см. при статье Симметрическое пространство.
А. С. Феденко.