ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ

Значение ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ в математической энциклопедии:

численные методы решения - методы приближенного отыскания решений дифференциальных уравнений с частными производными эллиптич. типа. Среди различных классов задач, к-рые ставятся для Э. т. у., наиболее хорошо изучены краевые задачи и задачи с данными Коши. Последние поставлены некорректно и требуют для решения специальных методов [1]. Более типичны для Э. т. у. краевые задачи и для их приближенного решения разработано много различных численных методов (см. [2], [3]). Наиболее широкое распространение в вычислительной практике получили сеточные методы, а среди них - метод конечных разностей (см. Разностные методы,, Разностных схем теория,[4], [5])и метод конечных элементов (м. к. э.) (см. [6] - [9]). Хотя указанные методы и различаются подходом к построению приближенного решения - в первом из них аппроксимируются (см. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной )уравнение и граничные (краевые) условия, а во втором - само искомое решение, - однако получающиеся для отыскания приближенного решения алгебраич. системы близки по структуре, а в ряде случаев и вовсе совпадают.
Суть метода конечных разностей состоит в следующем: область непрерывного изменения аргументов исходной задачи заменяется дискретным множеством точек (узлов), называемым сеткой; производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, аппроксимируются разностными отношениями; при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой алгебраич. уравнений (разностной схемой). Если полученная таким образом разностная краевая задача разрешима (быть может, только на достаточно мелкой сетке) и ее решение при безграничном измельчении сетки приближается (сходится) к решению исходной задачи для дифференциального уравнения, то полученное на любой фиксированной сетке решение разностной задачи и принимается за приближенное решение исходной задачи.
Простейшим примером Э. т. у. является уравнение Пуассона (уравнение Лапласа, если

Примеры разностных схем для уравнения Пуассона приведены в статьях Краевая задача;численные методы решения для уравнений с частными производными и Разностное уравнение.
В м. к. э. аппроксимируется обобщенное решение краевой задачи. Если, напр., уравнение (1) задано при я для него рассматривается однородная задача Дирихле, т. е.

где - граница то обобщенным решением задачи (1), (2) наз. функция к-рая при любой функции удовлетворяет интегральному тождеству

Здесь - Соболева пространство функций, обращающихся в нуль (в смысле обобщенных функций) на Наиболее важный класс м. к. э. образуют м. к. э. галеркинского типа (конформные м. к. э.). В Галеркина методе приближенное решение ищется в конечномерном подпространстве того пространства, на к-ром задано интегральное тождество, определяющее обобщенное решение. Применительно к задаче (3) приближенным по Галеркину решением наз. такая функция к-рая при любой функции удовлетворяет интегральному тождеству (3). В м. к. э. подпространство должно обладать нек-рыми специальными свойствами (см. Разностная вариационная схема).
Специфику конечномерного подпространства, отличающую м. к. э. от других реализаций метода Галеркина, иллюстрирует следующий пример. Пусть область в к-рой ищется решение задачи (1), (2), есть многоугольник. Область разбивается на малые треугольники (конечные элементы) так, чтобы любые два треугольника либо вовсе не содержали общих точек, либо имели одну общую вершину, либо одну общую сторону. В качестве конечномерного подпространства пространства выбирается пространство кусочно линейных, линейных над каждым треугольником, непрерывных и обращающихся в нуль на функций. Размерность пространства совпадает с числом вершин треугольников (без учета их кратности), не попавших на границу Указанные вершины наз. узлами. В качестве базиса можно взять совокупность таких элементов к-рые отличны от нуля лишь в одном узле. Характерной особенностью этого базиса является то, что у каждого его элемента носитель минимален и образован объединением всех треугольников с общей вершиной в том узле, где данный базисный элемент отличен от нуля. Благодаря этому свойству на каждом конечном элементе (к. э.) отлично от нуля не более трех (по числу вершин, не попавших на базисных функций, что позволяет использовать сужения указанных базисных функций на к. э. как базис на к. з. и проводить все вычисления на к. э. без привлечения информации о других к. э. Указанное свойство базиса делает м. к. э. весьма технологичным с точки зрения использования ЭВМ [10].
Если, напр.. - единичный квадрат, а разбиение на к. э. осуществляется тремя семействами эквидистантных прямых

то при условии, что отличные от нуля значения базисных функций равны единице, для коэффициентов с _тп разложения приближенного решения получают систему уравнений, в точности совпадающую с системой уравнений метода конечных разностей. При этом с _тп будут значениями приближенного решения в узлах.
Точность описанного м. к. э. характеризуется оценкой

где h - максимальный линейный размер к. э. Чтобы получить большую точность, нужно приближенное решение искать не в пространстве кусочно линейных функций, а в пространстве кусочно квадратичных или, вообще, кусочно полиномиальных функций. Точность в этом случае при надлежащей гладкости искомого решения будет О(h^k), где k - степень используемых многочленов.
Помимо треугольных к. э. можно использовать и четырехугольные к. э., однако, если стороны четырехугольников не параллельны координатным осям, то необходимо применять -изопараметрич. технику, т. е. сначала отобразить рассматриваемый к. э. на канонич. к. э. (в данном случае на прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям) при помощи невырожденного преобразования, обратное к к-рому задается теми же самыми функциями, что и приближенное решение на канонич. к. э. Можно использовать треугольники и четырехугольники с криволинейными сторонами (снова применяя изопараметрич. технику), что необходимо при решении задач в областях с гладкой границей методами более высокого порядка точности, чем первый.
Помимо м. к. э. галеркинского типа, существуют так наз. неконформные м. к. э., решения в к-рых ищутся в пространствах, не являющихся подпространствами исходных пространств. Особенно часто такие м. к. э: применяются для задач, связанных с Э. т. у. более высокого, чем второй, порядка.
И метод конечных разностей, и м. к. э. приводят к системам линейных алгебраич. уравнений большого порядка с разреженными матрицами; подавляющее большинство элементов этих матриц нулевые (см. [11], [12]). Получил значительное развитие еще один метод приближенного решения краевых задач для Э. т. у.- метод граничных элементов [13].

Лит.:[1] Латтес Р., Лионе Ж.-Л., Метод квазиобращения и его приложения, пер. сфранц., М., 1970; [2] Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.- Л., 1982; [3] Михлин С. Г., Смолицкий X. Л., Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, М., 1965; [4] Самарский А. А., Андреев В. Б., Разностные методы для эллиптических уравнений, М., 1976; [5] ВirkhоllG.,в кн.: Elliptic problem solvers, N. Y.- L., 1981, p. 17-38; [6] Зенкевич О. К., Метод конечных элементов в технике, пер. с англ., М., 1975; [7] Стренг Г., Фикс Дж., Теория метода конечных элементов, пер. с англ., М., 1977; [8] Сьярле Ф., Метод конечных элементов для эллиптических задач, пер. с англ., М., 1980; [9] Митчелл Э., Уэйт Р., Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, пер. с англ., М., 1981; [10] Нintоn E., Оwen D. R. J., Finite element programming, L., 1977: [11] Самарcкий А. А., Николаев Е. С.,Методы решения сеточных уравнений, М., 1978; [12] Джордж А., Лю Дж.,Численное решение больших разреженных систем уравнений, пер. с англ., М., 1984; [13] Бреббиа К., Уокeр С., Применение метода граничных элементов в технике, пер. с англ., М., 1982.
В. Б. Андреев.