ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ

Значение ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ в математической энциклопедии:

- интеграл от алгебраической функцииIрода, т. е. интеграл вида

где R(z, w) - рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением

в к-ром f(z) - многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней. При этом обычно подразумевается, что интеграл (1) нельзя выразить через одни только элементарные функции. В том случае, когда такое выражение возможно, интеграл (1) наз. псевдоэллиптическим интегралом.
Название Э. и. связано с тем, что впервые они появились при спрямлении дуги эллипса и других кривых 2-го порядка в работах кон. 17 - нач. 18 вв. Я. Бернулли (J. Bernoulli), И. Бернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлер (L. Euler) заложили основы теории Э. и. и эллиптических функций, возникающих при обращении эллиптических интегралов.
Уравнению (2) соответствует двулистная компактная риманова поверхность Fрода g=l, гомеоморфная тору, на к-рой z, w, а следовательно, и R (z,w). рассматриваемые как функции точки поверхности F, однозначны.
Интеграл (1) задается как интеграл от абелева дифференциала на F, взятый вдоль нек-рого спрямляемого пути L. Задание начальной z₀ и конечной z₁ точек этого пути L, вообще говоря, не вполне определяет значение Э. и. (1), или, иначе говоря, Э. и. (1) есть многозначная функция от z₀ и z₁.
Любой Э. и. можно выразить в виде суммы элементарных функций и линейной комбинации канонич. Э. и. I, II и III рода. Последние записываются, напр., следующим образом:

где с - параметр Э. и. III рода.
Дифференциал I рода dz/w, соответствующий Э. и. I рода I₁, всюду на римановой поверхности . конечен, дифференциалы II и III рода имеют соответственно особенность типа полюса с нулевым вычетом или простого полюса. Рассматриваемые как функции верхнего предела интегрирования при фиксированном нижнем пределе, все три Э. и. на Fмногозначны. Если же разрезать Fвдоль двух циклов базиса гомологии, то в получившейся односвязной области F* интегралы I₁ и I₂ будут однозначны, а интеграл I₃ сохраняет еще логарифмич. многозначность, появляющуюся при обходе простого полюса. При переходе через разрез каждый интеграл изменяется на целое кратное соответствующего периода, или модуля периодичности, а I₃ имеет еще, кроме того, третий логарифмический период 2pi. соответствующий обходу особой точки. Таким образом, вычисление интеграла типа (1) сводится к вычислению интеграла вдоль пути L*, соединяющего на F* точки z₀ и z₁, и прибавлению соответствующей линейной комбинации периодов.
Подвергая переменное z нек-рым преобразованиям, можно привести функцию wиосновные Э. и. к нормальным формам.
В нормальной форме Вейерштрасса выполняется соотношение и интеграл имеет периоды Обращение этого Э. и. дает эллиптич. функцию Вейерштрасса с периодами и инвариантами g₂, g₃ (см. Вейерштрасса эллиптические функции). Вычисление периодов по заданным инвариантам производится при помощи модулярной функции Если в нормальном интеграле II рода

принять нормальный интеграл I рода . в качестве переменной интегрирования, то при надлежащем выборе постоянной интегрирования будет выполняться равенство

где - дзета-функция Вейерштрасса. При этом периоды нормального интеграла II рода равны Нормальный интеграл III рода по Вейерштрассу имеет вид

где - сигма-функция Вейерштрасса, . При этом справедливо правило перестановки:

где п - целое число. Периоды нормального интеграла III рода имеют вид

где n₁, n₃- целые, -логарифмич. период.
В приложениях чаще встречается нормальная форма Лежандра. При этом

где kназ. модулем Э. и., k² иногда наз. лежандровым модулем, - дополнительным модулем. Чаще всего имеет место нормальный случай, когда 0<k<l, a z=x=sin t- действительное переменное. Э. и. I род а в нормальной форме Лежандра имеет вид

он наз. также неполным Э. и. I рода; наз. амплитудой Э. и. I рода. Амплитуда есть бесконечнозначная функция от и. Обращение нормального интеграла I рода приводит к эллиптич. функции Якоби z=sn и(см. Якоби эллиптические функции). Нормальный интеграл II рода в нормальной форме Лежандра имрет вид

он наз. также неполным Э. и. II рода. Интегралы

наз. полными Э. и. соответственно I и II рода. Лежандровы интегралы I рода имеют периоды 4K и 2iK', II рода - периоды 4E и 2i(K'-E').
Нормальный интеграл III рода в нормальной форме Лежандра имеет вид

где n²- параметр, чаще всего При или k²<u²<1 он наз. циркулярным интегралом, а при 0<п ²<k² или 1<n² - гиперболич. интегралом.
По Якоби нормальный интеграл III рода определяется несколько иначе:

где n²=k²sn²a. Связь между интегралами III рода Якоби и Лежандра выражается формулой

циркулярный характер соответствует мнимым a, гиперболический - действительным а.
Наряду с эллиптич. функциями, Э. и. находят многочисленные и важные применения в различных вопросах анализа и геометрии, физики, в частности механики, астрономии и геодезии. Составлены таблицы Э. и. подробные руководства по теории Э. и. и эллиптич. функций, а также сводки формул.

Лит.:[1] Беляков В. М., Кравцова Р. П., Раппопорт М. Г., Таблицы эллиптических интегралов, т. 1-2 М., 1962-63; [2] Янке Е., Эмде Ф., Л ёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М., 1977.
См. также лит. при ст. Эллиптическая функция.
Е. Д. Соломенцев.