"
0
C
F
G
H
K
L
N
P
S
T
W
Z
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Э
Ю
Я
ЭЙЛЕРА - ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕЗначение ЭЙЛЕРА - ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ в математической энциклопедии:
для минимальной поверхности z=z( х, у) - уравнение вида 
оно получено Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1760) и истолковано Ж. Мёнье (J. Meusnier) как условие равенства нулю средней кривизны поверхности z=z(x, у), частные интегралы найдены Г. Монжем (G. Monge). Систематические исследования Э.-Л. у. проведены С. М. Бернштейном, который показал, что Э.-Л. у. является квазилинейным аллиптич. уравнением рода р=2, вследствие чего решения Э.-Л. у. обладают рядом свойств, резко отличающих их от решений линейных уравнений. К таким свойствам, напр., относятся устранимость изолированных особых точек решения без априорного предположения об ограниченности решения в окрестности особой точки, принцип максимума, имеющий место при тех же условиях, невозможность равномерной априорной оценки z(x, у )влюбой компактной подобласти круга через значения z в центре круга (т. е. отсутствие точного аналога неравенства Гарнака), факты, относящиеся к Дирихле задаче, отсутствие нелинейного решения Э.-Л. у., определенного над всей плоскостью ( Вернштейна теорема )и т. д.
Э.-Л. у. обобщается по размерности: для минимальной гиперповерхности z=z(x1, . . ., xn) в  соответствующее уравнение имеет вид
Для этого уравнения  исследована разрешимость задачи Дирихле, доказана устранимость особенностей решения, если они сосредоточены внутри области на множестве нулевой ( п-1)-мерной меры Хаусдорфа, показана справедливость теоремы Вернштейна для  и построены контрпримеры для 
И. X. Сабитов.
|
