ЧЕТАЕВА УРАВНЕНИЯ

Значение ЧЕТАЕВА УРАВНЕНИЯ в математической энциклопедии:

- общие канонич. уравнения механики голономных систем, представимые с помощью нек-рой группы Ли бесконечно малых преобразований и эквивалентные Пуанкаре уравнениям.
Если вместо независимых переменных определяющих действительные перемещения, ввести величины

- функция Лагранжа, то уравнения Пуанкаре примут более простой вид Ч. у.

где

-функция Гамильтона. Вторую группу уравнений (1) можно заменить уравнениями

Вводя функцию действия по формуле

где интегрирование происходит по действительной траектории системы, можно получить соотношения

Здесь обозначают операторы отнесенные к начальному моменту времени t₀ и начальному положению системы - начальные значения Если функция действия известна, то уравнения (3) решают задачу механики, причем вторая группа уравнений (3) определяет в неявном виде закон движения системы. Функция действия удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными 1-го порядка

Если известен полный интеграл V(t, x₁, ..., х _п, a₁, ... ..., a_n) уравнения (4), то решения Ч. у. определяются соотношениями

где a_i, b_i - произвольные постоянные, стесненные п-k проинтегрированными уравнениями связей.
Вместо переменных x_i могут быть рассмотрены новые переменные определяющие положение системы. Пусть A_s, s = 1, ..., kпредставляют (k+ 1)-членную группу непрерывных преобразований Ли в переменных со структурными постоянными причем и -переменные, определяющие возможные и действительные перемещения, так что для нек-рой функции

Преобразование переменных определяется характеристич. функцией

и формулами

вместе с проинтегрированными уравнениями связей. Такие преобразования наз. канонич. преобразованиями, они сохраняют канонич. вид уравнений движения, причем функция Гамильтона в новых переменных принимает вид

Если характеристич. функция преобразования является полным интегралом уравнения (4) ( при то функция H* = 0 и Ч. у. (1), (2) в новых переменных принимают вид

т. е. .= l, ..., п, s = l,..., k. Линейная форма определяет основной относительный интегральный инвариант динамики.
Условие того, что f(t, x₁, ..., х _п, y₁, ..., y_k)=const, есть первый интеграл Ч. у., имеет вид где

- скобка Пуассона.
Если f=а и g=b являются первыми интегралами, то интегралом будет и (f, g)=с (обобщение Пуассона теоремы).
Ч. у. выведены H. Г. Четаевым [1]-[3], разработавшим и их теорию.

Лит.:[1] Четаeв H. Г., лС. r. Acad. sci.