ФУРЬЕ РЯД

Значение ФУРЬЕ РЯД в математической энциклопедии:

по ортогональным многочленам- ряд вида

где многочлены { Р _п (х)} ортонормированы на интервале ( а, b )с весом h(х)(см. Ортогональные многочлены),а коэффициенты { а _n} вычисляются но формуле

причем функция f(x) входит в класс функций L₂=L₂[a, b, h (х)], квадрат к-рых суммируем (интегрируем по Лебегу) с весовой функцией h(х)по интервалу ортогональности ( а, b).
Как и у любого ортогонального ряда, частичные суммы {s_п( х, f)} ряда (1) приближают функцию f(x) наилучшим образом в метрике пространства L₂ и выполняется условие

Для доказательства сходимости ряда (1) в отдельной точке хили на нек-ром множестве из ( а, b )обычно применяется равенство

где -коэффициенты Фурье вспомогательной функции

при фиксированном х, а -коэффициент из формулы Кристоффеля-Дарбу. Если отрезок ортогональности [ а, b] конечен, и последовательность { Р _п (х)}ограничена в данной точке х, то ряд (1) сходится к значению f(x).
Коэффициенты (2) можно определять и для функции f(t)из класса L₁ = L₁ [a, b, h(t)],т. е. для функций, суммируемых с весом h(t)на интервале ( а, b). В случае конечного отрезка [ а, b]условие (3) имеет место, если а последовательность { Р _п(t)} ограничена равномерно на всем отрезке [а, b]. При этих условиях ряд (1) сходится в нек-рой точке к значению f(x), если
Пусть А- та часть интервала ( а, b), где последовательность { Р _n(t)} ограничена равномерно, и L_p(A)=L_p[A, h(t)]-класс функций, суммируемых в степени рпо множеству Ас весом h(t). Если при фиксированном имеем и то ряд (1) сходится к f(x).
Для рядов (1) имеет место принцип локализации условий сходимости: если две функции f(t)и g(t)из пространства L₂ совпадают в интервале где то Ф. р. по ортогональным многочленам этих двух функций в точке хсходятся или расходятся одновременно. Аналогичное утверждение справедливо, если f(t)и g(t)входят в пространства L₁ (А)и L₂ (В), причем
Для классических ортогональных многочленов имеют место теоремы о равносходимости ряда (1) с нек-рым ассоциированным тригонометрич. рядом Фурье (см. Равносходящиеся ряды).
Равномерная сходимость ряда (1) на всем конечном отрезке ортогональности [ а, b|или на части его обычно исследуется с помощью неравенства Лебега

гдe функция Лебега

не зависит от функции f(x),a E_n(f)-наилучшее равномерное приближение непрерывной функции f(х)на отрезке [ а, b]многочленами степени не выше n. В зависимости от свойств весовой функции h(х)последовательность функций Лебега {L_n (х)} в разных точках отрезка [ а, b]может возрастать с различной скоростью. А для всего отрезка [ а, b]вводятся постоянные Лебега

к-рые возрастают неограниченно при причем для различных систем ортогональных многочленов постоянные Лебега могут возрастать с различной скоростью. Из неравенства Лебега следует, что если выполняется условие

то ряд (1) сходится к функции f(x) равномерно на всем отрезке [ а, b]. С другой стороны, скорость сходимости последовательности ( Е _п(f)} к нулю зависит от дифференциальных свойств функции f(x). Поэтому во многих случаях нетрудно сформулировать достаточные условия, при к-рых правая часть неравенства Лебега стремится к нулю при (см., напр., Лежандра многочлены, Чебышева многочлены, Якоби многочлены). В общем случае произвольного веса конкретные результаты получаются, если для рассматриваемых ортогональных многочленов известны асимптотич. формулы или оценки.

Лит.:[1] Сегё Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [2] Геронимус Я. Л., Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке, М., 1958; [3] Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979; см. также лит. при ст. Ортогональные многочлены.
П. К. Суетин.