ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Значение ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ в математической энциклопедии:

обобщенной функции - расширение операции преобразования Фурье с основных функций на обобщенные функции. Пусть К - пространство основных функций, на к-ром определена операция преобразования Фурье F,

причем F- изоморфизм Кна пространство основных функций Тогда операция преобразования Фурье определяемая на пространстве обобщенных функций равенством

осуществляет изоморфизм на пространство основных функций К'.
Примеры. 1) Здесь обратной операцией к Fслужит операция

и справедливы основные формулы для

2) где -совокупность функций таких, что и

3) K = D, где Z - совокупность целых функций удовлетворяющих условию роста; существует число что для любого найдется С _N > 0 такое, что

Ряды Фурье обобщенной функции. Если обобщенная функция f-периодическая с n-периодом Т = (Т ₁, ..., Т _п), T_j> 0, то и ее можно разложить в тригонометрич. ряд

сходящийся к f в S'; здесь

Примеры. 4) в частности

5) в частности

6) где -функция Хeвисайда.

Преобразование Фурье свертки обобщенных функций. Пусть прямое произведение обобщенных функций f и gиз допускает расширение на функции вида Именно, пусть для любой последовательности

из со свойствами: (равномерно на любом компакте), числовая последовательность имеет предел, обозначаемый не зависящий от последовательности из указанного класса. В этом случае функционал f*g, действующий по формуле
наз. сверткой обобщенных функций f и g, Свертка существует не для любых пар обобщенных функций f и g. Она заведомо существует, если при любом R> 0 множество
ограничено в (в частности, если f или gфинитна). Если свертка f * g существует, то она коммутативна, f * g = g* f, и коммутирует со сдвигом и с производной: -функция Дирака играет роль лединицы