ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Значение ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ в математической энциклопедии:

одно из интегральных преобразований,- линейный оператор F, действующий в пространстве, элементами к-рого являются функции f(х)от пдействительных переменных. Минимальной областью определения Fсчитается совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций j. Для таких функций

В нек-ром смысле наиболее естественной областью определения Fявляется совокупность Sбесконечно дифференцируемых функций исчезающих на бесконечности вместо со своими производными быстрее любой степени | х|. Формула (1) сохраняется для и при этом Более того, Fосуществляет изоморфизм Sна себя, обратное отображение F^-1 -обращение Ф. п., обратное преобразование Фурье, -задается формулой:

Формула (1) еще действует в пространстве суммируемых функций. Дальнейшее расширение области определения оператора Fтребует обобщения формулы (1). В классич. анализе такие обобщения строятся для локально суммируемых функций с теми или иными ограничениями на их поведение при (см. Фурье интеграл). В теории обобщенных функций определение оператора Fосвобождено от многих требований классич. анализа.
Основные задачи, связанные с изучением Ф. п. F:исследование области определения Ф оператора . и области его значений свойства отображения (в частности, условия существования обратного оператора F^-l и его выражение). Формула обращения Ф. п. весьма проста:
F^-l[g(x)]=F [g(-x)].

Под действием Ф. п. линейные операторы в исходном пространстве, инвариантные относительно сдвига, переходят в пространстве образов в операторы умножения (при нек-рых условиях). В частности, свертка функций f и gпереходит в произведение функций Ff и Fg:

дифференцирование порождает умножение на независимую переменную:

В пространствах оператор Fопределен формулой (1) на множестве и является ограниченным оператором из в

(неравенство Хаусдорфа - Юнга). По непрерывности Fдопускает продолжение на все пространство к-рое (для дается формулой

где сходимость понимается по норме пространства Если образ пространства L_p под действием оператора Fне совпадает с L_q, т. е. вложение строгое при (случай р = 2 см. в статье Планшереля теорема). Обратный оператор F^-l определен на FL_p формулой

Задача о распространении Ф. п. на возможно широкий класс-функций постоянно возникает в анализе и его приложениях. См.. напр., Фурье преобразование обобщенной функции.

Лит.:[1] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948; [2] 3игмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 2, М., 1965; [3] Стейн И., Вейс Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. с англ., М., 1974.
П. И. Лизоркин.