"
0
C
F
G
H
K
L
N
P
S
T
W
Z
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Э
Ю
Я
ФУРЬЕ МЕТОД
Значение ФУРЬЕ МЕТОД в математической энциклопедии:
метод разделения переменных,- метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений
где M(N) - линейные дифференциальные выражения, содержащие производные только но переменным х(у), с коэффициентами, также зависящими только от х(у). Функция
будет решением уравнения (1), если существует такая константа 
что
Напр., для уравнения колебаний струны
и решение (2) принимает вид
где с i, 
- произвольные постоянные и 
В полуполосе 
при с 1=0,
2,. . ., решения (5) удовлетворяют краевому условию
Составленный из этих функций ряд
доставляет решение начально-краевой задачи (4), (6) и
если а п и пb п являются коэффициентами Фурье
от достаточно гладких начальных данных 
и 
Аналогичным образом можно получать решения начально-краевых задач для более общих классов уравнений (1), при этом роль теории рядов Фурье, связанных с разложением (7), играет спектральная теория линейных операторов.
Ф. м. тесно связан со специальными функциями, к-рые являются решениями уравнений (3) при т=n=1 для частных случаев операторов Ми N, многие из этих функций первоначально возникли таким способом. Напр., при применении этого метода к уравнению Гельмгольца
uxx+uyy+и = 0, записанного в полярных координатах в виде (1) с
первое уравнение в (3) является уравнением Бесселя.
Одно и то же дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, целое семейство систем координат, в к-рых оно допускает разделение переменных, т. е. приводится к виду (1). Задача разыскания таких систем координат тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Применение методов теории групп Ли позволяет описать все решения с разделенными переменными многих классич. уравнений математич. физики (Лапласа, Гельмгольца, Шрёдингера, волнового уравнения и др.). На этом пути получается также целый ряд соотношений из теории специальных функций.
Метод разделения переменных был предложен для решения волнового уравнения Ж. Д'Аламбером (J. D'Alembert, 1749), с достаточной полнотой метод был развит в нач. 19 в. Ж. Фурье (J. Fourier) и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828.
Лит.:[1] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [2] Миллер У., Симметрия и разделение переменных, пер. с англ., М., 1981.
А. П. Солдатов.
