ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА

Значение ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА в математической энциклопедии:

-множество функций с нек-рым набором операций, применяемых к этим функциям и приводящих к получению других функций из этого множества. Ф. с. являются одним из основных объектов математич. кибернетики и дискретной математики и отражают следующие главные особенности реальных и абстрактных управляющих систем: функционирование (в Ф. с. это функции), правила построения более сложных управляющих систем из заданных и описание функционирования сложных систем по функционированию их компонент (последние два момента отражены в операциях Ф. с.). Примерами Ф. с. являются многозначные логики, алгебры автоматов, алгебры вычислимых функций и др. Ф. с. обладает определенной спецификой, состоящей в рассмотрении задач и подходов, возникающих при исследовании Ф. с. с позиций математич. кибернетики, математич. логики и алгебры. Так, с позиций математич. кибернетики Ф. с. рассматриваются как модели, описывающие функционирование сложных кибернетич. систем; с позиций математич. логики - как модели логик, т. е. как системы предложений с логич. операциями над ними; с точки зрения алгебры - как универсальные алгебры.
Важной особенностью Ф. с., выделяющей их из общего класса универсальных алгебр, является их содержательная связь с реальными кибернетич. моделями управляющих систем. Эта связь, с одной стороны, определяет серию существенных требований, к-рые накладываются на Ф. <с., а с другой стороны, порождает класс важных задач, имеющих как теоретическое, так и прикладное значение. Проблематика Ф. с. обширна и имеет много общего с проблематикой многозначных логик. К числу важнейших задач для Ф. с. относятся задачи о полноте, о сложности выражения одних функций через другие, о тождественных преобразованиях, о синтезе и анализе и другие.
Изучение Ф. с. осуществлялось путем исследования конкретных модельных Ф. с., среди к-рых одной из первых изучались двузначная и трехзначная, а затем и k-значная логики. Наряду с этими Ф. <с. интенсивно изучаются алгебры автоматов, такие, как Ф. с. функций с задержками, Ф. с. ограниченно-детерминированных функций и детерминированных функций, счетно-значные логики, Ф. с. вычислимых функций, Ф. с. неоднородных функций и другие.
Вместе с накоплением модельных Ф. с. и изучением их свойств вырабатывались общие понятия Ф. с., анализировались Ф. с. с точки зрения решения упомянутых задач для них. В качестве обобщений реальных Ф. с. могут рассматриваться и универсальные алгебры, однако в этом случае теряются основные достоинства реальных Ф. с. и прежде всего такие, как конструктивность множеств и операции и ряд других. Достаточную общность имеет следующий подход к пониманию Ф. с. Суть подхода состоит в рассмотрении в качестве Ф. с. пар вида где является множеством функций k-значной или счетно-значной логики или множеством последовательностных функций, а также множеством нек-рых ближайших обобщений таких функций (напр., частичных или неоднородных функций и т. п.); а в качестве выступает множество в определенном смысле автоматных операций, к-рые обладают теми нужными свойствами, какими наделены операции в примерах упомянутых Ф. с.: это и локальность информации о функциях, используемой при применении операций к функциям, и вычислимый характер операций, причем вычислимый в определенном смысле простейшими, т. е. автоматными, средствами, и конструктивность заданий самих операций и т. п. Само понятие Ф. с. в соответствии с реальными Ф. <с. распадается на понятия истинностной Ф. с. и последовательностной Ф. с. В первом случае в паре множество состоит из функций многозначной логики, а во втором - из последовательностных функций, т. е. функций, определенных на словах. Все реальные Ф. <с. оказываются либо истинностными, либо последовательностными Ф. с.
Важную роль при изучении Ф. с. играет оператор замыкания к-рый соответствует Ф. с. если ее рассматривать как частичную универсальную алгебру. Этот оператор, как и операции из наз. автоматным. Установлено, что классы автоматных и алгебраич. операторов замыкания совпадают. Отсюда, в частности, следует, что все реальные Ф. с. являются истинностными или последовательностными Ф. <с. и с формальной точки зрения.

Лит.:[1] Яблонский С. В., лТр. Матем. ин-та АН СССР