ФОРМАЛЬНЫЙ СТЕПЕННОЙ РЯД

Значение ФОРМАЛЬНЫЙ СТЕПЕННОЙ РЯД в математической энциклопедии:

над кольцом Аот коммутирующих переменных T₁, . . ., Т _п - алгебраич. выражение вида

где F_k - форма от T₁, . . ., Т _п с коэффициентами из Астепени k. Минимальное значение k, для к-рого наз. порядком ряда F, а форма F_k наз. начальной формой ряда.
Если

и
- два Ф. с. р., то, по определению,

и

где

Относительно этих операций множество .1, ..., Т _п>всех Ф. с. р. образует кольцо. Многочлен где F_k- форма степени k,
отождествляется с Ф. с. р. где C_k=F_k при и C_k =0 при k>n. Это определяет вложение i кольца многочленов А[ Т ₁. .... Т _п] в кольцо А[[Т ₁,..., T_n]]. В кольцо А[[Т ₁,..., T_n]] определена топология, для к-рой идеалы

образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология отделима, кольцо А[[Т ₁...., T_n]]полно относительно этой топологии, и образ вложения i всюду плотен в А[[Т ₁,..., T_n]].Относительно этой топологии Ф. с. p. . является пределом своих частичных сумм
Пусть А- коммутативное кольцо с единицей. Тогда таково же и кольцо A[[Т ₁,..., T_n]].Если А-область целостности, то и A[[Т ₁,..., T_n]]. область целостности. Ф. с. p. Fобратим в кольце А[[Т ₁...., T_n]]тогда и только тогда, когда РД обратим в А. Если А - нётерово, то и A[[Т ₁...., T_n]]также нётерово. Если А - локальное кольцо с максимальным идеалом m, TO A[[Т ₁...., T_n]]-локальное кольцо с максимальным идеалом ( Т ₁,..., T_n).
Если локальное кольцо Аотделимо и полно в адической топологии, то в кольце A[[T_lt..., T_n справедлива подготовительная теорема Вейерштрасса. Пусть F - Ф. с. р. такой, что для нек-рого kформа F_k содержит член где и пусть k- минимальный индекс с этим свойством. Тогда F=UP, где U- обратимый Ф. с. р. и Р- многочлен вида где коэффициенты а _i принадлежат максимальному идеалу кольца А[[Т ₁,..., T_n]]. Элементы Uи Роднозначно определены рядом F.
Кольцо Ф. с. р. над полем или дискретно нормированным кольцом факториально.
Рассматриваются также кольца Ф. с. р. от некоммутирующих переменных.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 2, пер. с англ., М., 1963.
Л. В. Кузьмин.