ФИНИТНАЯ ФУНКЦИЯ

Значение ФИНИТНАЯ ФУНКЦИЯ в математической энциклопедии:

- функция, определенная в нек-рой области пространства Е ⁿ и имеющая принадлежащий к этой области компактный носитель. Точнее, пусть функция f(х)= f(x₁,..., х _п )определена на области Носителем f наз. замыкание множества точек х для к-рых f(х)отлично от нуля Таким образом, можно еще сказать, что Ф. ф. в есть такая определенная на функция, что ее носитель L есть замкнутое ограниченное множество, отстоящее от границы Г области на расстоянии большем, чем где достаточно мало.
Обычно рассматривают непрерывно дифференцируемые kраз Ф. ф., где k - заданное натуральное число. Еще чаще рассматривают бесконечно дифференцируемые Ф. ф. Функция

может служить примером бесконечно дифференцируемой Ф. ф. в области содержащей в себе шар
Множество всех бесконечно дифференцируемых Ф. ф. в области обозначают D. Над Dопределяют линейные функционалы ( обобщенные функции). При помощи функций определяют обобщенные решения краевых задач.
В теоремах, посвященных задачам на нахождение обобщенных решений, часто важно знать, является ли пространство Dплотным в нек-ром конкретно заданном пространстве функций. Известно, напр., что если граница Г ограниченной области достаточно гладкая, то Dплотно в пространстве функций

т. е. в пространстве функций класса Соболева, равных нулю на Г вместе со своими нормальными производными до порядка r - 1 включительно (r=1,2,...).

Лит.:[1] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [2] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосиб., 1962.
С. М. Никольский.