ФИНИТИЗМ

Значение ФИНИТИЗМ в математической энциклопедии:

- идущая от Д. Гильберта (D. Hilbert) методологич. точка зрения на то, какие объекты и способы рассуждений в математике следует считать абсолютно надежными. Основные требования Ф. таковы:
1) объекты рассуждений - конструктивные объекты, напр. цифровые записи натуральных чисел, формулы в символич. языке и их конечные совокупности;
2) применяемые операции однозначно определены и принципиально выполнимы (вычислимы);
3) никогда не рассматривается множество всех предметов хкакой-либо бесконечной совокупности; всеобщее суждение (х)есть высказывание о произвольном объекте х, к-рое подтверждается в каждом конкретном случае;
4) утверждение о существовании объекта х, обладающего свойством (х), означает либо предъявление конкретного такого объекта, либо указание способа его построения.
Ограничения Ф. на логику близки к интуиционистским, хотя в целом финитная точка зрения является более жесткой. Рассуждение, удовлетворяющее требованиям 1) - 4), не выводит за рамки интуиционистской арифметики (см. Интуиционизм).
После проведения формализации (см. Аксиоматический метод )содержательные математич. теории становятся конструктивными объектами (совокупностями конструктивных объектов). В рамках подхода Д. Гильберта и его последователей Ф. нужен для изучения таких формализованных теорий; надежно установленными считаются только те свойства теорий, к-рые доказаны финитными методами. Гёделя теорема о неполноте показала принципиальную недостаточность финитных средств для подобного обоснования математики. Это привело к необходимости расширить применяемые в теории доказательств средства за рамки Ф.

Лит.:[1] Клини С. <К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [2] Френкель А., Бар - Xиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [3] Гильберт Д., Бернайс II., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., 2 изд., М., 1982.
С. Н. Артемов.