ФЕЛЛЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС

Значение ФЕЛЛЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС в математической энциклопедии:

- однородный марковский процесс X(t), где Т- аддитивная подполугруппа действительной оси R со значениями в топологич. пространстве . с топологией и борелевской -алгеброй переходная функция Р(t, х, В), к-рого обладает определенным свойством гладкости, а именно для непрерывной ограниченной функции f функция

является непрерывной. Естественность такого требования на переходную функцию обусловлена тем, что переходные операторы действующие на пространстве ограниченных борелевских функций, оставляют инвариантным пространство С(Е)непрерывных ограниченных функций, т. e. полугруппу переходных операторов можно считать действующей на С (Е). Впервые полугруппы такого типа рассматривались В. Феллером (W. Feller, 1952) (см. [1]).
Как правило, на топологич. пространство накладываются дополнительные требования: обычно локально компактное мeтризуемое пространство. В атом случае Ф. п., удовлетворяющий условию стохастич. непрерывности, допускает модификацию, являющуюся стандартным марковским процессом (см. Марковский процесс, строго марковское свойство). Обратно, стандартный процесс является Ф. ц. для естественной топологии базу топологии составляют такие множества что для момента первого выхода из Бпочти наверное выполняется если процесс начинается в В(см. [1]).
Важный подкласс Ф. н. образуют сильно феллеровские процессы (с. <ф. <п.) [2]; в этом случае на переходную функцию накладываются более жесткие требования гладкости: функция должна быть непрерывной для любой ограниченной борелевской функции f. Ecли, более того, функция непрерывна по норме вариации в пространстве ограниченных мер, то марковский процесс, отвечающий такой переходной функции, наз. с. ф. п. в узком смысле. Если переходные функции Ри Qотвечают с. ф. п.. то их композиция отвечает с. ф. п. в узком смысле при обычных предположениях на Невырожденные диффузионные процессы, являются с. ф. п. (см. [3]). Естественным обобщением с. ф. п. являются марковские процессы с непрерывной компонентой (см. [4]).
Если Т- подмножество натуральных чисел, то Ф. <п. X(t), наз. фeллеровской цепью (ф. <ц.). Примером ф. <ц. может служить случайное блуждание на прямой последовательность где S_п+1=S_n+Y_n, {Y_n} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. При этом случайное блуждание {S_n} является сильно феллеровской цепью тогда и только тогда, когда распределение случайной величины Y₁ имеет плотность.
Для Ф. <и. имеется естественное обобщение классификации состояний цепи Маркова со счетным множеством состояний (см. Маркова цепь);состояния хи уиз Есообщаются, если для любых окрестностей U_х точки хu V_y точки y существуют t, такие, что Р(t, x, V_y)> 0и Р(s,у,U_х) > 0 (цепи со счетным множеством состояний являются феллеровскими с дискретной топологией). Эргодические свойства и методы их исследования для Ф. п . имеют определенную специфику по сравнению с классич. эргодической теорией. Наиболее лправильное