ФАНО МНОГООБРАЗИЕ

Значение ФАНО МНОГООБРАЗИЕ в математической энциклопедии:

- гладкое полное неприводимое алгебраич. многообразие Xнад полем k, антиканонич. пучок к-рого обилен. Основы изучения таких многообразий заложены Дж. Фано ([1], [2]).
Ф. м. размерности 2 наз. поверхностью дель Пеццо и является рациональной поверхностью. Многомерный аналог поверхностей дель Пеццо - Ф. м. размерности >2 уже не все являются рациональными многообразиями, напр. общая кубика в проективном пространстве Р ⁴. Неизвестно (1984), все ли Ф. м. унирациональны.
Хорошо изучены трехмерные Ф. м. (см. [3], [5]). О Ф. м. размерности больше 3 известны лишь отдельные частные результаты.
Группа Пикара Pic Xтрехмерного Ф. <м. Xконечно порождена и не имеет кручения. В случае когда основное поле kсовпадает с полем ранг группы Pic X, равный второму числу Бетти b₂ (Х). не больше 10 (см. [4]). Если то Ф. <м. изоморфно где S_d - поверхность дель Пеццо степени d. Ф. <м. Xназ. примитивным, если не существует моноидального преобразования гладкого многообразия X' с центром в неособой неприводимой кривой. Если Ф. <м. Xпримитивно, то Если b₂ (Х)=-3, то Xявляется расслоением на коники над другими словами, тогда существует морфизм слой к-рого изоморфен конике, т. е. алгебраич. схеме, заданной однородным уравнением степени 2 в Р ². Ф. <м. Xс b₂ (Х)=2является расслоением на коники над проективной плоскостью Р ² (см. [3]). В случае b₂(X)=1существует 18 типов Ф. <м., к-рые описаны (см. [6]).
Для трехмерных Ф. <м. Xиндекс самопересечения антиканонич. дивизора Наибольшее целое число такое, что изоморфно для нек-рого дивизора наз. индексом Ф. <м. Индекс трехмерного Ф. <м. может принимать значения 1, 2, 3, 4. Ф. <м. индекса 4 изоморфно проективному пространству Р ³, а Ф. <м. индекса 3 изоморфно гладкой квадрике Если r = 2, то индекс самопересечения d=H³ может принимать значения причем каждое из них реализуется на нек-ром Ф. <м. Для Ф. <м. индекса 1 отображение определяемое линейной системой имеет степень или 2. Опиеаны Ф. <м. индекса 1, для к-рых Если то Ф. <м. Xреализуется как подмногообразие V_2g-2 степени 2g-2 в проективном пространстве P^g+1. Число gназ. родом Ф. <м. V_2g-2 и совпадает с родом канонич. кривой - сечения многообразия Xпри антиканонич. вложении в Р ^g+1. Известна классификация Ф. <м. класс гиперплоского сечения к-рых совпадает с антиканонич. классом и порождает группу Pic V_2g-2 (см. [4], [5])

Лит.:[1] Fano G.,лAtti Congr. internaz. dei matematici. Bologna