|
"
0
C
F
G
H
K
L
N
P
S
T
W
Z
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Э
Ю
Я
УНИТАРНАЯ ГРУППАЗначение УНИТАРНАЯ ГРУППА в математической энциклопедии: относительно формы f - группа Un( К, f) всех линейных преобразований
У. г. принадлежит к числу классических групп. Частными случаями У. г. являются симплектическая группа (в этом случае К - поле, J=1и f - знакопеременная билинейная форма) и ортогональная группа( К - поле, char Лит.:[1] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Автоморфизмы классических групп, сб. пер. с англ. и франц.. М., 1976; [4] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [5] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар лСофус Ли
|
|
|
|
n-мерного правого линейного пространства Vнад телом К, сохраняющих фиксированную невырожденную полуторалинейную (относительно инволюции J тела К)форму f на V, т. е. таких 
что 
J=1, f - симметрическая билинейная форма). Далее, пусть 
и f обладает свойством (Т)(см. Витта теорема). Умножая f на подходящий скаляр, можно, не меняя У. г., добиться того, чтобы f стала эрмитовой формой, а меняя, сверх того, J,- чтобы f стала косоэрмитовой формой. 
то всякий элемент У. г. U п( К, f) является произведением не более чем п+l квазиотражении (т. е. преобразований, оставляющих на месте все элементы какой-либо неизотропной гиперплоскости в V). Центр Zn У. г. Un(K, f) состоит из всех гомотетий пространства Vвида 
то удобно считать f косоэрмитовой. Пусть Т п( К, f) - нормальный делитель в Un(K, f), порожденный унитарными сдвигами, т. е. линейными преобразованиями вида 
где а - изотропный вектор пространства V, а 
Центром группы Т п( К, f) является группа 
Факторгруппа Т п( К, f)/Wn проста при 
если 
или 
Строение факторгруппы Un(K,f)/ Т п( К, f) описывается следующим образом. Пусть 
- подгруппа мультипликативной группы К* тела К, порожденная 
а 
- подгруппа в К*, порожденная элементами 
обладающими следующим свойством: в F существует такая гиперболическая плоскость (т. е. двумерное неизотропное подпространство, содержащее изотропный вектор), что 
для нек-рого вектора 
ортогонального к указанной плоскости. Эти подгруппы являются нормальными в К*. Пусть 
- подгруппа в К*, порожденная коммутаторами 
Если исключить случай n= 3, 
то Un(K, f)/ Т п( К, f) при 
изоморфна 
Если Ккоммутативно и 
то Т п( К, f) совпадает с нормальной подгруппой 
состоящей из тех элементов, определитель Дьёдонне к-рых равен 1 (за исключением случая n=3, 
Соотношения между 
и 
исследованы также в случае, когда тело Кимеет конечную размерность над своим центром [1]. 
не совпадает со своим коммутантом и т. п.). Наиболее изученными являются случаи локально компактного поля характеристики 
и поля алгебраич. чисел. 
a 
то всякий автоморфизм У. г. Т п( К, f) имеет вид 
где 
- гомоморфизм Т п( К, f) в со центр Zn, a g - унитарное полуподобие пространства V(т. е. биективное полулинейное отображение 
удовлетворяющее условию 
где 
а 
- автоморфизм K, связанный с g). Если nчетно, 
К - поле характеристики 
и 
то всякий автоморфизм группы 
индуцируется автоморфизмом группы Т п( К, f). 
- автоморфизм комплексного сопряжения и эрмитова форма f положительно определена, то У. г. Т п( К, f )обозначается через Un;она является компактной вещественной связной группой Ли и часто наз. просто У. г. В случае неопределенной формы / группу 
часто наз. псевдоунитарной. С помощью выбора в Vбазиса Un отождествляется с группой всех унитарных матриц. Группа 
в этом случае наз. специальной унитарной группой и обозначается через SUn.