" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

БОРЕЛЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО

Значение БОРЕЛЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО в математической энциклопедии:

B-множество,- множество, к-рое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологич. пространства. Более точно, борелевским множеством наз. элемент наименьшего замкнутого относительно дополнений счетно аддитивного класса множеств, содержащего замкнутые множества. Другие названия Б. м.: множества, измеримые по Борелю, В - измерим. <ые множества. Открытые и замкнутые множества наз. Б. м. нулевого порядка. Б. м. первого порядка наз. множества типа , являющиеся, соответственно, счетными суммами замкнутых и счетными пересечениями открытых множеств. Б. м. второго порядка наз. множества типа (пересечение счетного числа множеств типа ) н множества типа (сумма счетного числа множеств типа ). Так, по индукции, определяются р. м. любого конечного порядка. Эта классификация может быть продолжена при помощи трансфинитных чисел второго класса, и ею исчерпываются все Б. м. Если - какое-нибудь трансфинитное число второго класса, то Б. м. класса наз. все Б. м. порядка , не являющиеся Б. м. порядка ни при каком Непустота классов Б. м. зависит от основного пространства, в к-ром ведется рассмотрение. В евклидовом, гильбертовом и бэровском пространствах существуют Б. м. любого класса.

Б. м. представляет собой частный случай А -множеств. Для того чтобы A- множество Ебыло Б. м., необходимо и достаточно, чтобы дополнение к Етакже было А-множеством (М. Я. Суслин). В пространствах, где введена Лебега мера, всякое Б. м. является измеримым по Лебегу. Обратное неверно. В любом сепарабельном пространстве мощности континуум существуют множества, не являющиеся Б. м.

Б. м. введены Э. Борелем [1]; они играют важную роль при изучении борелевских функций.

В более общем понимании Б. м. - множество любой борелевской системы множеств, порожденной нек-рой системой множеств. Б. м. топологич. пространства порождаются системой замкнутых подмножеств этого пространства.

Лит.:[1] Воrе1 Е., Legons sur les fonctions discontinues, P., 1898; [2] Куратовский К., Топология, т. 1, М., 1966; [3] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.-Л., 1937; [4] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948. В. А. Скворцов.