Математический словарь
" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ТОМА КАТАСТРОФЫ

Значение ТОМА КАТАСТРОФЫ в математической энциклопедии:

- особенности дифференцируемых отображений, классификация к-рых была анонсирована Р. Томом [1] при рассмотрении им градиентных динамич. систем и аналогичная списку критических точек коразмерности дифференцируемых функций. Исходная формулировка результата Тома: 4-параметрические семейства функций в типичном случае устойчивы и с точностью до знака и замены переменных задаются в окрестности критич. точки одним из семи выражений (см. табл.).

Обозначение
Коразмерность
Коранг
Росток
Универсальная деформация
Название
A2
1
1
х 3 + у2
их
Складка
А 3
2
1
х 4 + у2
ux + vx2
Сборка
А 4
3
1
х 5 + у2
их + vx2 + их3
Ласточкин
D-4
3
2
х 3 + ху2
ux + vx2 + wy
Гиперболич. омбилика
D+4
3
2
х 3 - ху2
ux+vx2 + wy
Эллиптич. омбилика
А 5
4
2
x6 + у2
ux + vx2 + +wx3+ tx4
Бабочка
D5
4
2
х 4 + ху 2
ux + vx2 + + wx3 + ty
Парабол ич. омбилика

Ростки, отвечающие Т. к., являются конечно определенными (точнее, 6-определенными: в подходящих координатах они записываются как многочлены от двух переменных степени
Коразмерность codim служит мерой сложности критич. точек; любое достаточно малое возмущение функции f с codim-r приводит к функции, имеющей не более r критич. точки. Коразмерностью особенности (т. <е. ростка f, для к-рого f(0)=Df(0)=0) наз. число где - идеал, порожденный ростками Напр., если f=xN, то и базисом служат смежные классы элементов х, х2, . . ., xN-2, так что codim=2.
Имеет место неравенство codim где с - коранг гессиана отсюда, в частности, если то
Конечная определенность (достаточность) ростка, грубо говоря, означает, что он определяется с точностью до гладких замен координат своей струей. Точнее, росток f наз. k-определенным, если каждый росток f', имеющий ту же k-струю (т. е. отрезок ряда Тейлора до членов порядка что и f, правоэквивалентен f (см. |2]). Для конечной определенности ростка необходима и достаточна конечность его коразмерности. В частности, если codim=r, то f является (r+2)-определенным (отсюда 6-определенности при
Т. к., в отличие от случая общего положения, являются вырожденными особенностями (т. е. гессиан в них вырожден), и от них можно, как указывалось, избавиться малым возмущением. Однако для многих практически важных случаев, равно как и в теоретич. плане, представляет интерес не индивидуальный объект, а семейство таковых, зависящее от нескольких луправляющих