СФЕРА

Значение СФЕРА в математической энциклопедии:

- множество Sⁿ точек хевклидова пространства Eⁿ+1, находящихся от нек-рой точки х ₀ (центр С.) на постоянном расстоянии R (радиус С.), т. е.

С. S⁰ - пара точек, С. S¹ - это окружность, С. Sⁿ при n>2 иногда наз. гиперсферой. Объем С. Sⁿ (длина при п=1, поверхность при n=2) вычисляется по формуле

в частности,

Уравнение С. Sⁿ в декартовых прямоугольных координатах в Е ⁿ⁺1 имеет вид

(здесь - координаты х, х₀ соответственно), т. е. С.- (гипер)квадрика, или поверхность второго порядка специального вида.
Положение какой-либо точки в пространстве относительно С. характеризуется степенью точки. Совокупность всех С., относительно к-рых данная точка имеет одинаковую степень, составляет сеть С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой прямой (радикальной оси) имеют одинаковую степень (различную для различных точек), составляет связку С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой плоскости (радикальной плоскости) имеют одинаковую степень (различную для разных точек), составляет пучок С.
С точки зрения дифференциальной геометрии, С. Sⁿ -риманово пространство, имеющее постоянную (гауссову при n=2 и риманову при n>2) кривизну Все геодезич. линии С. замкнутьь и имеют постоянную длину - это т. н. большие окружности, т. <е. пересечения с Sⁿ двумерных плоскостей в Е ^п+1,проходящих через ее центр. Внешнегеометрич. свойства Sⁿ:все нормали пересекаются в одной точке, кривизна любого нормального сечения одна и та же и не зависит от точки, в к-рой оно рассматривается, в частности имеет постоянную среднюю кривизну, причем полная средняя кривизна С. - наименьшая среди выпуклых поверхностей одинаковой площади, все точки С. омбилические.
Нек-рые из таких свойств, принятые за основные, послужили отправной точкой для обобщения понятия С. Так, напр., аффинная сфера определяется тем, что все ее (аффинные) нормали пересекаются в одной точке; псевдосфера- поверхность в Е ³ постоянной гауссовой кривизны (но уже отрицательной); одна из интерпретаций орисферы (предельной сферы) - множество точек внутри S². определяемое уравнением также второго порядка

На С. Sⁿ дважды транзитивно действует ортогональная группа O(n+1) пространства Е ^п+1 (2-транзитивность означает, что для любых двух пар точек с равными расстояниями между ними существует вращение - элемент О(п+1), переводящее одну пару в другую); эта группа является полной группой изометрий Sⁿ;наконец, С. есть однородное пространство: Sⁿ=O(n+1)/O(n).
С точки зрения (дифференциальной) топологии, С. Sⁿ - замкнутое дифференцируемое многообразие, разделяющее Е ^п+1 на две области и являющееся их общей границей; при этом ограниченная область, гомеоморфная Е ^п+1,-это (открытый) шар, так что С. можно определить как его границу.
Группы гомологии С. Sⁿ,

в частности Sⁿ не стягивается в точку сама по себе, т. е. тождественное отображение Sⁿ в себя cущественно.

Группы гомотопий С. Sⁿ,

Напр., при n>2. В общем случае - для любых kи п, k>n, группы не вычислены ( см. Сфер гомотопические группы).
И здесь понятие С. получает обобщение. Напр., дикая сфера - топологич. С. (см. ниже) в Е ^п+1, не ограничивающая области, гомеоморфной Е ^п+1; Милнора сфера (экзотическая С.) - многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное Sⁿ.
Топологич. пространство, гомеоморфное С., наз. топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что нек-рое пространство является топологич. сферой.

Примеры.
а) Инвариантная топологич. характеристика С. Sⁿ при n>2 не известна (1984). О случае п=1 см. Одномерное многообразие. Для того чтобы континуум был гомеоморфен С. S², необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нем такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера).

б) Полное односвязное риманово пространство размерности кривизна к-рого для всех касательных двумерных плоскостей -ограничена с т. е. гомеоморфно Sⁿ (теорема о сферe, см. Риманова геометрия).

в) Односвязное замкнутое гладкое многообразие, (целые) гомологии к-рого совпадают с гомологиями Sⁿ, гомеоморфно Sⁿ при (при п =3 - неизвестно (1984)). Если n = 5, 6, то оно также и гомеоморфно Sⁿ (обобщенная гипотеза Пуанкаре), при n=3, 4 гипотеза остается (1984), при диффеоморфизм не имеет места.
Совершенно аналогично определяется С. Sв метрич. пространстве
Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или может быть пустым).
В нормированном пространстве Кс нормой С. наз. множество это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая, напр., гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной С. Один из вариантов, применяющихся в топологии, - т. н. бесконечномерная сфера - строгий индуктивный предел последовательности вложенных сфер:

другое определение: где - бесконечномерное Штифеля многообразие. Для любого i оказывается, что
Приложения понятия С. чрезвычайно разнообразны. Напр., С. участвует в конструкциях новых пространств или дополнительных структур на них. Так, напр., проективное пространство можно интерпретировать как С. Sⁿ с отождествленными диаметрально противоположными точками; С. с ручками и дырами используется в ручек теории;см. также Когомотопическая группа, Сферическое отображение.

Лит.:[1] Розейфельд Б. А., Многомерные пространства, М., 1966; [2] его же. Неевклидовы пространства, М., 1969; [3]Лени П., Конкретные проблемы функционального анализа, пер. с франц., М, 19.67; [4] Введение в топологию, М., 1980; [5] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962.
И. С. Шарадзе.