СУБПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Значение СУБПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО в математической энциклопедии:

одно из обобщений пространств постоянной кривизны (проективного пространства). Определяется k-кратное проективное пространство аффинной связности, геодезические линии к-рого выражаются в нек-рой системе координат системой из (п - 1) уравнений, из к-рых ровно kлинейных. При k=n -2геодезич. линии являются плоскими, располагаясь в двумерных евклидовых плоскостях, и пространство наз. субпроективным, если все эти двумерные евклидовы плоскости проходят через общую точку или параллельны одному направлению (общая точка - бесконечно удаленная).
Пусть А _п есть n-мерное С. п. аффинной связности без кручения. В нек-рой проективной системе х ⁱ координат пространства А _п коэффициенты связности имеют вид

где - символ Кронекера,

в этой системе координат все двумерные евклидовы плоскости, в к-рых расположены геодезич. линии A_n, проходят через начало координат.
Вообще в С. п. А _п существует канонич. система координат х ⁱ, вк-рой коэффициенты связности принимают наиболее простой вид
Аналогично определяется риманово субпроективное пространство V_n, мет. рика к-рого приводится к одному из трех возможных видов:

где

здесь - произвольная функция координат х ⁱ, - функция величины - квадратичная форма от в 1) - линейная форма, а в 2) -квадратный корень из квадратичной формы, не являющейся полным квадратом. 3) Исключительный случай

где - однородная функция 1-й степени от х ^n-1 и х ⁿ, и v - функции, связанные соотношением

Функции и v не являются однородными функциями 1-й степени.
Все эти три случая могут быть приведены путем выбора координат zⁱ к единообразному виду:

Все римановы С. п. V_n являются конформно-евклидовыми пространствами. Римановы С. п. принадлежат к классу полуприводимых римановых пространств и имеют специальное построение метрик.

Существуют тензорные признаки конформно евклидовых С. п., выделяющие их из класса всех конформно евклидовых пространств. Всякое С. п. V_n (кроме случая 3) может быть реализовано на нек-рой гиперповерхности в евклидовом пространстве Е _п+1 в случае 1) или на гиперповерхности вращения в E_n+1 в случае 2). Имеет место и обратное утверждение: всякая гиперповерхность вращения вокруг неизотропной оси в евклидовом пространстве E_n+1, n>2, представляет собой риманово С. ц. с метрикой вида 2).
Движения в римановых С. п. V_n определяются обычным способом. С. p. V_n характеризуются тем, что если V_n не является пространством постоянной кривизны, то оно допускает максимальную нетранзитивную группу движений порядка и, наоборот, всякое риманово пространство V_n, допускающее максимальную нетранзитивную группу порядка является С. п. Римановы С. п. V_n являются максимально подвижными неэйнштейновыми пространствами (аналогичное место занимают пространства постоянной кривизны среди пространств Эйншейна).
Понятие С. п. допускает следующее обобщение: пространство аффинной связности А _n наз. обобщенным суб проективным пространством, если его геодезич. линии лежат в евклидовых плоскостях проходящих через фиксированную плоскость E_r-1 (конечную или бесконечно удаленную).

Лит.:[1] Каган В. Ф., Субпроективные пространства, М., 1961.
Л. А. Сидоров.