БОЛЬЦА ЗАДАЧА

Значение БОЛЬЦА ЗАДАЧА в математической энциклопедии:

- одна из основных задач классического вариационного исчисления на условный экстремум при наличии ограничений типа равенств; сформулирована О. Больца (О. Bolza) в 1913. Б. з. состоит в том, чтобы минимизировать функционал

при наличии дифференциальных ограничений типа равенства:

и граничных условий:

При Б. <з. наз. Лагранжа задачей, при и - Майера задачей. Особенностью Б. <з. является смешанный характер функционала, к-рый представляет собой сумму интегрального функционала и функции от концов. С принципиальной точки зрения Б. <з. равносильна задаче Лагранжа и приводится к ней, если положить

а также - задаче Майера, если положить.

Выбор той или иной формы задачи, а также той топологии, в к-рой затем рассматривается эта задача, диктуется соображениями удобства или конкретной целесообразности. В теории оптимального управления чаще рассматриваются задачи в форме Майера, в классическом вариационном исчислении - в форме Лагранжа. Наиболее употребительна топология пространства непрерывно дифференцируемых функций. Для получения необходимых или достаточных условий экстремума надо накладывать требования гладкости на входящие в определения задачи функции f и gи отображения а также требования о регулярности отображений заключающиеся в том, что матрицы должны иметь максимальный ранг ри т соответственно. Для того чтобы вектор-функция x(t).доставляла экстремум в Б. <з. (аналогично в задачах Лагранжа и Майера), необходимо, чтобы вдоль нее удовлетворялись Эйлера уравнения и Вейерштрасса условие относительно Лагранжа функции, составленной по входящим в задачу данным с Лагранжа множителями, а также Якоби условие и трансверсальности условия.

В приведенной формулировке Б. з. использованы обозначения, характерные для теории оптимального управления. В классическом вариационном исчислении Б. з. формулируют, используя другие обозначения:

Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950. И. Б. Вапнярский.